微积分学示例

$f (x) = 5 {(x - 2)}^{2} + 3$

解题步骤 1

将 ${(x - 2)}^{2}$ 重写为 $(x - 2) (x - 2)$ 。

$\frac{d}{d x} [5 ((x - 2) (x - 2)) + 3]$

解题步骤 2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 2) (x - 2)$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [5 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) + 3]$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [5 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) + 3]$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [5 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 3]$

解题步骤 3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [5 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 3]$

解题步骤 3.1.2

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [5 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) + 3]$

解题步骤 3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{d}{d x} [5 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) + 3]$

解题步骤 3.2

从 $- 2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{d}{d x} [5 (x^{2} - 4 x + 4) + 3]$

解题步骤 4

根据加法法则， $5 (x^{2} - 4 x + 4) + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 (x^{2} - 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [5 (x^{2} - 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 5

计算 $\frac{d}{d x} [5 (x^{2} - 4 x + 4)]$ 。

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解题步骤 5.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 (x^{2} - 4 x + 4)$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 5.2

根据加法法则， $x^{2} - 4 x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$5 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$5 (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 5.4

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 5.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 5.6

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 (2 x - 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 5.7

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$5 (2 x - 4 + 0) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 5.8

将 $2 x - 4$ 和 $0$ 相加。

$5 (2 x - 4) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 6

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 (2 x - 4) + 0$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$5 (2 x) + 5 \cdot - 4 + 0$

解题步骤 7.2

合并项。

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解题步骤 7.2.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$10 x + 5 \cdot - 4 + 0$

解题步骤 7.2.2

将 $5$ 乘以 $- 4$ 。

$10 x - 20 + 0$

解题步骤 7.2.3

将 $10 x - 20$ 和 $0$ 相加。

$10 x - 20$

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