微积分学示例

$f (x) = 4 arccsc (10 x^{- 1})$

解题步骤 1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 arccsc (10 x^{- 1})$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [arccsc (10 x^{- 1})]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [arccsc (10 x^{- 1})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = arccsc (x)$ 且 $g (x) = 10 x^{- 1}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $10 x^{- 1}$ 。

$4 (\frac{d}{d u} [arccsc (u)] \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

解题步骤 2.2

$arccsc (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ 。

$4 (- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

解题步骤 2.3

使用 $10 x^{- 1}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (- \frac{1}{10 x^{- 1} \sqrt{{(10 x^{- 1})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

从 $10 x^{- 1}$ 中分解出因数 $10$ 。

$4 (- \frac{1}{10 x^{- 1} \sqrt{{(10 (x^{- 1}))}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

解题步骤 3.2

化简项。

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解题步骤 3.2.1

化简表达式。

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解题步骤 3.2.1.1

对 $10 (x^{- 1})$ 运用乘积法则。

$4 (- \frac{1}{10 x^{- 1} \sqrt{10^{2} {(x^{- 1})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

解题步骤 3.2.1.2

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 (- \frac{1}{10 x^{- 1} \sqrt{100 {(x^{- 1})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

解题步骤 3.2.1.3

将 ${(x^{- 1})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 (- \frac{1}{10 x^{- 1} \sqrt{100 x^{- 1 \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

解题步骤 3.2.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$4 (- \frac{1}{10 x^{- 1} \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

解题步骤 3.2.1.4

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ 将 $x^{- 1}$ 移动到分子。

$4 (- \frac{x}{10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

解题步骤 3.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4 (\frac{x}{10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

解题步骤 3.2.2

组合 $\frac{x}{10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$ 和 $- 4$ 。

$\frac{x \cdot - 4}{10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

解题步骤 3.2.3

将 $- 4$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{- 4 \cdot x}{10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

解题步骤 3.2.4

约去 $- 4$ 和 $10$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.4.1

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 2 x)}{10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

解题步骤 3.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.4.2.1

从 $10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 2 x)}{2 (5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1})} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

解题步骤 3.2.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (- 2 x)}{2 (5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1})} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

解题步骤 3.2.4.2.3

重写表达式。

$\frac{- 2 x}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

解题步骤 3.2.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 x}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

解题步骤 3.3

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x^{- 1}$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ 。

$- \frac{2 x}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} (10 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

解题步骤 3.4

化简项。

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解题步骤 3.4.1

将 $10$ 乘以 $- 1$ 。

$- 10 \frac{2 x}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 3.4.2

组合 $- 10$ 和 $\frac{2 x}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$ 。

$\frac{- 10 (2 x)}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 3.4.3

将 $2$ 乘以 $- 10$ 。

$\frac{- 20 x}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 3.4.4

约去 $- 20$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.1

从 $- 20 x$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (- 4 x)}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 3.4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.4.4.2.1

从 $5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (- 4 x)}{5 (\sqrt{100 x^{- 2} - 1})} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 3.4.4.2.2

约去公因数。

$\frac{5 (- 4 x)}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 3.4.4.2.3

重写表达式。

$\frac{- 4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 3.4.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- \frac{4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}} (- x^{- 2})$

解题步骤 3.6

合并分数。

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解题步骤 3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}} x^{- 2}$

解题步骤 3.6.2

将 $\frac{4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}} x^{- 2}$

解题步骤 3.6.3

组合 $\frac{4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$ 和 $x^{- 2}$ 。

$\frac{4 x \cdot x^{- 2}}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$

解题步骤 4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- 2}$ 。

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解题步骤 4.1

移动 $x^{- 2}$ 。

$\frac{4 (x^{- 2} x)}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$

解题步骤 4.2

将 $x^{- 2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 (x^{- 2} x^{1})}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 x^{- 2 + 1}}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$

解题步骤 4.3

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4 x^{- 1}}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$

解题步骤 5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 1}$ 移动到分母。

$\frac{4}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1} x}$

解题步骤 6

重新排序项。

$\frac{4}{x \sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$

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