微积分学示例

$f (x) = - 4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$

解题步骤 1

根据加法法则， $- 4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x) \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x) \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x) \cos^{3} (x)]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 \sin (x) \cos^{3} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos^{3} (x)]$ 。

$- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \cos^{3} (x)$ 。

$- 4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)] + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cos (x)$ 。

$- 4 (\sin (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 4 (\sin (x) (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

解题步骤 2.3.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- 4 (\sin (x) (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

解题步骤 2.4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- 4 (\sin (x) (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x))) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

解题步骤 2.5

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$- 4 (\sin (x) (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x))) + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

解题步骤 2.6

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 4 (\sin (x) (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

解题步骤 2.7

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

解题步骤 2.8

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

解题步骤 2.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

解题步骤 2.10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

解题步骤 2.11

通过指数相加将 $\cos^{3} (x)$ 乘以 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 2.11.1

将 $\cos^{3} (x)$ 乘以 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 2.11.1.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{3} (x) \cos^{1} (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

解题步骤 2.11.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{3 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

解题步骤 2.11.2

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x) \cos (x)]$ 。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x) \cos (x)]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin^{3} (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)])$

解题步骤 3.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)])$

解题步骤 3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 3.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sin (x)$ 。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

解题步骤 3.4.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

解题步骤 3.5

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

解题步骤 3.6

通过指数相加将 $\sin^{3} (x)$ 乘以 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 3.6.1

移动 $\sin (x)$ 。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin (x) \sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

解题步骤 3.6.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $\sin^{3} (x)$ 。

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解题步骤 3.6.2.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

解题步骤 3.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 ({\sin (x)}^{1 + 3} \cdot - 1 + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

解题步骤 3.6.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{4} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

解题步骤 3.7

将 $- 1$ 移到 $\sin^{4} (x)$ 的左侧。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- 1 \cdot \sin^{4} (x) + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

解题步骤 3.8

将 $- 1 \sin^{4} (x)$ 重写为 $- \sin^{4} (x)$ 。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- \sin^{4} (x) + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

解题步骤 3.9

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- \sin^{4} (x) + 3 \sin^{2} (x) (\cos^{1} (x) \cos (x)))$

解题步骤 3.10

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- \sin^{4} (x) + 3 \sin^{2} (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)))$

解题步骤 3.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- \sin^{4} (x) + 3 \sin^{2} (x) {\cos (x)}^{1 + 1})$

解题步骤 3.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- \sin^{4} (x) + 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)) - 4 \cos^{4} (x) - 4 (- \sin^{4} (x) + 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)) - 4 \cos^{4} (x) - 4 (- \sin^{4} (x)) - 4 (3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

解题步骤 4.3

合并项。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 3$ 乘以 $- 4$ 。

$12 (\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)) - 4 \cos^{4} (x) - 4 (- \sin^{4} (x)) - 4 (3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

解题步骤 4.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 4 (3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

解题步骤 4.3.3

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 12 (\sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

解题步骤 4.3.4

重新排序 $- 12 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ 的因式。

$12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

解题步骤 4.3.5

从 $12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ 中减去 $12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ 。

$0 - 4 \cos^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x)$

解题步骤 4.3.6

从 $0$ 中减去 $4 \cos^{4} (x)$ 。

$- 4 \cos^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x)$

解题步骤 4.4

将 $4 \sin^{4} (x)$ 重写为 ${(2 \sin^{2} (x))}^{2}$ 。

$- 4 \cos^{4} (x) + {(2 \sin^{2} (x))}^{2}$

解题步骤 4.5

将 $4 \cos^{4} (x)$ 重写为 ${(2 \cos^{2} (x))}^{2}$ 。

$- {(2 \cos^{2} (x))}^{2} + {(2 \sin^{2} (x))}^{2}$

解题步骤 4.6

将 $- {(2 \cos^{2} (x))}^{2}$ 和 ${(2 \sin^{2} (x))}^{2}$ 重新排序。

${(2 \sin^{2} (x))}^{2} - {(2 \cos^{2} (x))}^{2}$

解题步骤 4.7

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2 \sin^{2} (x)$ 和 $b = 2 \cos^{2} (x)$ 。

$(2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)) (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

解题步骤 4.8

从 $2 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$(2 (\sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)) (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

解题步骤 4.9

从 $2 \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$(2 (\sin^{2} (x)) + 2 (\cos^{2} (x))) (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

解题步骤 4.10

从 $2 (\sin^{2} (x)) + 2 (\cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

解题步骤 4.11

使用勾股恒等式。

$2 \cdot 1 (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

解题步骤 4.12

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

解题步骤 4.13

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 (2 \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x))$

解题步骤 4.14

运用分配律。

$2 (2 \sin^{2} (x)) + 2 (- 2 \cos^{2} (x))$

解题步骤 4.15

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 \sin^{2} (x) + 2 (- 2 \cos^{2} (x))$

解题步骤 4.16

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)$

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