微积分学示例

$f (x) = 4 x^{3} e^{\ln ({(6 x^{3} - 5)}^{2})}$

解题步骤 1

指数函数和对数函数互为反函数。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3} {(6 x^{3} - 5)}^{2}]$

解题步骤 2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3} {(6 x^{3} - 5)}^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3} {(6 x^{3} - 5)}^{2}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3} {(6 x^{3} - 5)}^{2}]$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = {(6 x^{3} - 5)}^{2}$ 。

$4 (x^{3} \frac{d}{d x} [{(6 x^{3} - 5)}^{2}] + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 6 x^{3} - 5$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $6 x^{3} - 5$ 。

$4 (x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [6 x^{3} - 5]) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 (x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [6 x^{3} - 5]) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 4.3

使用 $6 x^{3} - 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (x^{3} (2 (6 x^{3} - 5) \frac{d}{d x} [6 x^{3} - 5]) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

根据加法法则， $6 x^{3} - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$4 (x^{3} (2 (6 x^{3} - 5) (\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 5.2

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 (x^{3} (2 (6 x^{3} - 5) (6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 (x^{3} (2 (6 x^{3} - 5) (6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 5.4

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$4 (x^{3} (2 (6 x^{3} - 5) (18 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 5.5

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 (x^{3} (2 (6 x^{3} - 5) (18 x^{2} + 0)) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 5.6

化简表达式。

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解题步骤 5.6.1

将 $18 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$4 (x^{3} (2 (6 x^{3} - 5) (18 x^{2})) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 5.6.2

将 $18$ 乘以 $2$ 。

$4 (x^{3} (36 (6 x^{3} - 5) x^{2}) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 6

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.1

移动 $x^{2}$ 。

$4 (x^{2} x^{3} (36 (6 x^{3} - 5)) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 (x^{2 + 3} (36 (6 x^{3} - 5)) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 6.3

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$4 (x^{5} (36 (6 x^{3} - 5)) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 (x^{5} (36 (6 x^{3} - 5)) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} (3 x^{2}))$

解题步骤 8

将 $3$ 移到 ${(6 x^{3} - 5)}^{2}$ 的左侧。

$4 (x^{5} (36 (6 x^{3} - 5)) + 3 \cdot {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$4 (x^{5} (36 (6 x^{3}) + 36 \cdot - 5) + 3 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

解题步骤 9.2

运用分配律。

$4 (x^{5} (36 (6 x^{3})) + x^{5} (36 \cdot - 5) + 3 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

解题步骤 9.3

运用分配律。

$4 (x^{5} (36 (6 x^{3}))) + 4 (x^{5} (36 \cdot - 5)) + 4 (3 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

解题步骤 9.4

合并项。

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解题步骤 9.4.1

将 $6$ 乘以 $36$ 。

$4 (x^{5} (216 x^{3})) + 4 (x^{5} (36 \cdot - 5)) + 4 (3 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

解题步骤 9.4.2

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 9.4.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$4 (x^{3} x^{5} \cdot 216) + 4 (x^{5} (36 \cdot - 5)) + 4 (3 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

解题步骤 9.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 (x^{3 + 5} \cdot 216) + 4 (x^{5} (36 \cdot - 5)) + 4 (3 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

解题步骤 9.4.2.3

将 $3$ 和 $5$ 相加。

$4 (x^{8} \cdot 216) + 4 (x^{5} (36 \cdot - 5)) + 4 (3 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

解题步骤 9.4.3

将 $216$ 移到 $x^{8}$ 的左侧。

$4 (216 \cdot x^{8}) + 4 (x^{5} (36 \cdot - 5)) + 4 (3 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

解题步骤 9.4.4

将 $216$ 乘以 $4$ 。

$864 x^{8} + 4 (x^{5} (36 \cdot - 5)) + 4 (3 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

解题步骤 9.4.5

将 $36$ 乘以 $- 5$ 。

$864 x^{8} + 4 (x^{5} \cdot - 180) + 4 (3 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

解题步骤 9.4.6

将 $- 180$ 移到 $x^{5}$ 的左侧。

$864 x^{8} + 4 (- 180 \cdot x^{5}) + 4 (3 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

解题步骤 9.4.7

将 $- 180$ 乘以 $4$ 。

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 4 (3 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

解题步骤 9.4.8

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2}$

解题步骤 9.5

重新排序项。

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} {(6 x^{3} - 5)}^{2}$

解题步骤 9.6

化简每一项。

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解题步骤 9.6.1

将 ${(6 x^{3} - 5)}^{2}$ 重写为 $(6 x^{3} - 5) (6 x^{3} - 5)$ 。

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} ((6 x^{3} - 5) (6 x^{3} - 5))$

解题步骤 9.6.2

使用 FOIL 方法展开 $(6 x^{3} - 5) (6 x^{3} - 5)$ 。

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解题步骤 9.6.2.1

运用分配律。

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (6 x^{3} (6 x^{3} - 5) - 5 (6 x^{3} - 5))$

解题步骤 9.6.2.2

运用分配律。

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (6 x^{3} (6 x^{3}) + 6 x^{3} \cdot - 5 - 5 (6 x^{3} - 5))$

解题步骤 9.6.2.3

运用分配律。

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (6 x^{3} (6 x^{3}) + 6 x^{3} \cdot - 5 - 5 (6 x^{3}) - 5 \cdot - 5)$

解题步骤 9.6.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 9.6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 9.6.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (6 \cdot 6 x^{3} x^{3} + 6 x^{3} \cdot - 5 - 5 (6 x^{3}) - 5 \cdot - 5)$

解题步骤 9.6.3.1.2

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 9.6.3.1.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (6 \cdot 6 (x^{3} x^{3}) + 6 x^{3} \cdot - 5 - 5 (6 x^{3}) - 5 \cdot - 5)$

解题步骤 9.6.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (6 \cdot 6 x^{3 + 3} + 6 x^{3} \cdot - 5 - 5 (6 x^{3}) - 5 \cdot - 5)$

解题步骤 9.6.3.1.2.3

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (6 \cdot 6 x^{6} + 6 x^{3} \cdot - 5 - 5 (6 x^{3}) - 5 \cdot - 5)$

解题步骤 9.6.3.1.3

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (36 x^{6} + 6 x^{3} \cdot - 5 - 5 (6 x^{3}) - 5 \cdot - 5)$

解题步骤 9.6.3.1.4

将 $- 5$ 乘以 $6$ 。

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (36 x^{6} - 30 x^{3} - 5 (6 x^{3}) - 5 \cdot - 5)$

解题步骤 9.6.3.1.5

将 $6$ 乘以 $- 5$ 。

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (36 x^{6} - 30 x^{3} - 30 x^{3} - 5 \cdot - 5)$

解题步骤 9.6.3.1.6

将 $- 5$ 乘以 $- 5$ 。

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (36 x^{6} - 30 x^{3} - 30 x^{3} + 25)$

解题步骤 9.6.3.2

从 $- 30 x^{3}$ 中减去 $30 x^{3}$ 。

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (36 x^{6} - 60 x^{3} + 25)$

解题步骤 9.6.4

运用分配律。

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (36 x^{6}) + 12 x^{2} (- 60 x^{3}) + 12 x^{2} \cdot 25$

解题步骤 9.6.5

化简。

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解题步骤 9.6.5.1

使用乘法的交换性质重写。

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 \cdot 36 x^{2} x^{6} + 12 x^{2} (- 60 x^{3}) + 12 x^{2} \cdot 25$

解题步骤 9.6.5.2

使用乘法的交换性质重写。

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 \cdot 36 x^{2} x^{6} + 12 \cdot - 60 x^{2} x^{3} + 12 x^{2} \cdot 25$

解题步骤 9.6.5.3

将 $25$ 乘以 $12$ 。

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 \cdot 36 x^{2} x^{6} + 12 \cdot - 60 x^{2} x^{3} + 300 x^{2}$

解题步骤 9.6.6

化简每一项。

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解题步骤 9.6.6.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{6}$ 。

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解题步骤 9.6.6.1.1

移动 $x^{6}$ 。

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 \cdot 36 (x^{6} x^{2}) + 12 \cdot - 60 x^{2} x^{3} + 300 x^{2}$

解题步骤 9.6.6.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 \cdot 36 x^{6 + 2} + 12 \cdot - 60 x^{2} x^{3} + 300 x^{2}$

解题步骤 9.6.6.1.3

将 $6$ 和 $2$ 相加。

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 \cdot 36 x^{8} + 12 \cdot - 60 x^{2} x^{3} + 300 x^{2}$

解题步骤 9.6.6.2

将 $12$ 乘以 $36$ 。

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 432 x^{8} + 12 \cdot - 60 x^{2} x^{3} + 300 x^{2}$

解题步骤 9.6.6.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 9.6.6.3.1

移动 $x^{3}$ 。

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 432 x^{8} + 12 \cdot - 60 (x^{3} x^{2}) + 300 x^{2}$

解题步骤 9.6.6.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 432 x^{8} + 12 \cdot - 60 x^{3 + 2} + 300 x^{2}$

解题步骤 9.6.6.3.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 432 x^{8} + 12 \cdot - 60 x^{5} + 300 x^{2}$

解题步骤 9.6.6.4

将 $12$ 乘以 $- 60$ 。

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 432 x^{8} - 720 x^{5} + 300 x^{2}$

解题步骤 9.7

将 $864 x^{8}$ 和 $432 x^{8}$ 相加。

$1296 x^{8} - 720 x^{5} - 720 x^{5} + 300 x^{2}$

解题步骤 9.8

从 $- 720 x^{5}$ 中减去 $720 x^{5}$ 。

$1296 x^{8} - 1440 x^{5} + 300 x^{2}$

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