微积分学示例

$f (x) = \frac{3 x (1 - e^{x})}{1 + e^{x}}$

解题步骤 1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3 x (1 - e^{x})}{1 + e^{x}}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\frac{x (1 - e^{x})}{1 + e^{x}}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x (1 - e^{x})}{1 + e^{x}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x (1 - e^{x})$ 且 $g (x) = 1 + e^{x}$ 。

$3 \frac{(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [x (1 - e^{x})] - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 1 - e^{x}$ 。

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x \frac{d}{d x} [1 - e^{x}] + (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [x]) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $1 - e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ 。

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) + (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [x]) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 4.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) + (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [x]) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 4.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ 相加。

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x \frac{d}{d x} [- e^{x}] + (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [x]) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 4.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- \frac{d}{d x} [e^{x}]) + (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [x]) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 5

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [x]) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + (1 - e^{x}) \cdot 1) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2

将 $1 - e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.3

根据加法法则， $1 + e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x (1 - e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x (1 - e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ 相加。

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x (1 - e^{x}) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 8

组合 $3$ 和 $\frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x (1 - e^{x}) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$ 。

$\frac{3 ((1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x (1 - e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$\frac{3 ((1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) + (- x \cdot 1 - x (- e^{x})) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.2

运用分配律。

$\frac{3 ((1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x \cdot 1 e^{x} - x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.3

运用分配律。

$\frac{3 ((1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.4

化简分子。

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解题步骤 9.4.1

化简每一项。

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解题步骤 9.4.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 ((1 + e^{x}) (- x e^{x} + 1 - e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.2

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(1 + e^{x}) (- x e^{x} + 1 - e^{x})$ 。

$\frac{3 (1 (- x e^{x}) + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.3

化简每一项。

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解题步骤 9.4.1.3.1

将 $- x e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.3.2

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 + 1 (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.3.3

将 $- e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.3.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{x} (x e^{x}) + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.3.5

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 9.4.1.3.5.1

移动 $e^{x}$ 。

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - (e^{x} e^{x}) x + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.3.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{x + x} x + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.3.5.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.3.6

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.3.7

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} - e^{x} e^{x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.3.8

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 9.4.1.3.8.1

移动 $e^{x}$ 。

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} - (e^{x} e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.3.8.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} - e^{x + x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.3.8.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} - e^{2 x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.4

合并 $- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} - e^{2 x}$ 中相反的项。

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解题步骤 9.4.1.4.1

将 $- e^{x}$ 和 $e^{x}$ 相加。

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{2 x} x + 0 - e^{2 x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.4.2

将 $- x e^{x} + 1 - e^{2 x} x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{2 x} x - e^{2 x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.5

运用分配律。

$\frac{3 (- x e^{x}) + 3 \cdot 1 + 3 (- e^{2 x} x) + 3 (- e^{2 x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.6

化简。

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解题步骤 9.4.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 3 (x e^{x}) + 3 \cdot 1 + 3 (- e^{2 x} x) + 3 (- e^{2 x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.6.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 3 (x e^{x}) + 3 + 3 (- e^{2 x} x) + 3 (- e^{2 x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.6.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 3 (x e^{x}) + 3 - 3 (e^{2 x} x) + 3 (- e^{2 x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.6.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 3 (x e^{x}) + 3 - 3 (e^{2 x} x) - 3 e^{2 x} + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.7

去掉圆括号。

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} + 3 (- x e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.9

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 (x e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.10

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 9.4.1.10.1

移动 $e^{x}$ 。

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 (- x (- (e^{x} e^{x})))}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.10.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 (- x (- e^{x + x}))}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.10.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 (- x (- e^{2 x}))}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.11

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 (- 1 \cdot - 1 x e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.12

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 (1 x e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.13

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 x e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.4.2

合并 $- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 x e^{2 x}$ 中相反的项。

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解题步骤 9.4.2.1

按照 $- 3 e^{2 x} x$ 和 $3 x e^{2 x}$ 重新排列因数。

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 e^{2 x} x}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.4.2.2

将 $- 3 e^{2 x} x$ 和 $3 e^{2 x} x$ 相加。

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 + 0 - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.4.2.3

将 $- 3 x e^{x} + 3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.4.3

从 $- 3 x e^{x}$ 中减去 $3 x e^{x}$ 。

$\frac{- 6 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.5

重新排序项。

$\frac{- 6 e^{x} x + 3 - 3 e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.6

从 $- 6 e^{x} x + 3 - 3 e^{2 x}$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 9.6.1

从 $- 6 e^{x} x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 2 e^{x} x) + 3 - 3 e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.6.2

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 2 e^{x} x) + 3 (1) - 3 e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.6.3

从 $- 3 e^{2 x}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 2 e^{x} x) + 3 (1) + 3 (- e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.6.4

从 $3 (- 2 e^{x} x) + 3 (1)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 2 e^{x} x + 1) + 3 (- e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.6.5

从 $3 (- 2 e^{x} x + 1) + 3 (- e^{2 x})$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 2 e^{x} x + 1 - e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.7

从 $- 2 e^{x} x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (2 e^{x} x) + 1 - e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.8

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{3 (- (2 e^{x} x) - 1 (- 1) - e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.9

从 $- (2 e^{x} x) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (2 e^{x} x - 1) - e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.10

从 $- e^{2 x}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (2 e^{x} x - 1) - (e^{2 x}))}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.11

从 $- (2 e^{x} x - 1) - (e^{2 x})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (2 e^{x} x - 1 + e^{2 x}))}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.12

将 $- (2 e^{x} x - 1 + e^{2 x})$ 重写为 $- 1 (2 e^{x} x - 1 + e^{2 x})$ 。

$\frac{3 (- 1 (2 e^{x} x - 1 + e^{2 x}))}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.13

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 (2 e^{x} x - 1 + e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9.14

将 $- \frac{3 (2 e^{x} x - 1 + e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{3 (2 x e^{x} - 1 + e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

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