微积分学示例

$f (x) = 4 arccsc (\tan (e^{x}))$

解题步骤 1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 arccsc (\tan (e^{x}))$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [arccsc (\tan (e^{x}))]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [arccsc (\tan (e^{x}))]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = arccsc (x)$ 且 $g (x) = \tan (e^{x})$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\tan (e^{x})$ 。

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [arccsc (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (e^{x})])$

解题步骤 2.2

$arccsc (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}}$ 。

$4 (- \frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\tan (e^{x})])$

解题步骤 2.3

使用 $\tan (e^{x})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$4 (- \frac{1}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} \frac{d}{d x} [\tan (e^{x})])$

解题步骤 3

合并分数。

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解题步骤 3.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4 (\frac{1}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} \frac{d}{d x} [\tan (e^{x})])$

解题步骤 3.2

组合 $\frac{1}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}}$ 和 $- 4$ 。

$\frac{- 4}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} \frac{d}{d x} [\tan (e^{x})]$

解题步骤 3.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} \frac{d}{d x} [\tan (e^{x})]$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $e^{x}$ 。

$- \frac{4}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{x}])$

解题步骤 4.2

$\tan (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{2})$ 。

$- \frac{4}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

解题步骤 4.3

使用 $e^{x}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{4}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} (\sec^{2} (e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

解题步骤 5

合并分数。

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解题步骤 5.1

组合 $\sec^{2} (e^{x})$ 和 $\frac{4}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}}$ 。

$- \frac{\sec^{2} (e^{x}) \cdot 4}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 5.2

将 $4$ 移到 $\sec^{2} (e^{x})$ 的左侧。

$- \frac{4 \cdot \sec^{2} (e^{x})}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 6

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- \frac{4 \sec^{2} (e^{x})}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} e^{x}$

解题步骤 7

合并分数。

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解题步骤 7.1

组合 $e^{x}$ 和 $\frac{4 \sec^{2} (e^{x})}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}}$ 。

$- \frac{e^{x} (4 \sec^{2} (e^{x}))}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}}$

解题步骤 7.2

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{4 e^{x} \sec^{2} (e^{x})}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}}$

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