微积分学示例

$f (x) = - \frac{4 h}{x (x + h)}$

解题步骤 1

因为 $- \frac{4}{x}$ 对于 $h$ 是常数，所以 $- \frac{4 h}{x (x + h)}$ 对 $h$ 的导数是 $- \frac{4}{x} \frac{d}{d h} [\frac{h}{x + h}]$ 。

$- \frac{4}{x} \frac{d}{d h} [\frac{h}{x + h}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [\frac{f (h)}{g (h)}]$ 等于 $\frac{g (h) \frac{d}{d h} [f (h)] - f (h) \frac{d}{d h} [g (h)]}{{g (h)}^{2}}$ ，其中 $f (h) = h$ 且 $g (h) = x + h$ 。

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{(x + h) \frac{d}{d h} [h] - h \frac{d}{d h} [x + h]}{{(x + h)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{(x + h) \cdot 1 - h \frac{d}{d h} [x + h]}{{(x + h)}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 $x + h$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x + h - h \frac{d}{d h} [x + h]}{{(x + h)}^{2}}$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $x + h$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ 。

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x + h - h (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])}{{(x + h)}^{2}}$

解题步骤 3.4

因为 $x$ 对于 $h$ 是常数，所以 $x$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x + h - h (0 + \frac{d}{d h} [h])}{{(x + h)}^{2}}$

解题步骤 3.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d h} [h]$ 相加。

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x + h - h \frac{d}{d h} [h]}{{(x + h)}^{2}}$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x + h - h \cdot 1}{{(x + h)}^{2}}$

解题步骤 3.7

化简项。

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解题步骤 3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x + h - h}{{(x + h)}^{2}}$

解题步骤 3.7.2

从 $h$ 中减去 $h$ 。

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x + 0}{{(x + h)}^{2}}$

解题步骤 3.7.3

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x}{{(x + h)}^{2}}$

解题步骤 3.7.4

将 $\frac{x}{{(x + h)}^{2}}$ 乘以 $\frac{4}{x}$ 。

$- \frac{x \cdot 4}{{(x + h)}^{2} x}$

解题步骤 3.7.5

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$- \frac{4 \cdot x}{{(x + h)}^{2} x}$

解题步骤 3.7.6

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.6.1

约去公因数。

$- \frac{4 x}{{(x + h)}^{2} x}$

解题步骤 3.7.6.2

重写表达式。

$- \frac{4}{{(x + h)}^{2}}$

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