微积分学示例

$f (x) = 3 x^{3} + 4^{2} - 20 \cdot \sqrt[4]{x} - \frac{18}{x^{3}}$

解题步骤 1

使用求加法法则求导。

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解题步骤 1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [3 x^{3} + 16 - 20 \cdot \sqrt[4]{x} - \frac{18}{x^{3}}]$

解题步骤 1.2

根据加法法则， $3 x^{3} + 16 - 20 \cdot \sqrt[4]{x} - \frac{18}{x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 20 \cdot \sqrt[4]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 20 \cdot \sqrt[4]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 20 \cdot \sqrt[4]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 20 \cdot \sqrt[4]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

解题步骤 2.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 20 \cdot \sqrt[4]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

解题步骤 3

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$9 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 20 \cdot \sqrt[4]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [- 20 \cdot \sqrt[4]{x}]$ 。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[4]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{4}}$ 。

$9 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 20 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

解题步骤 4.2

因为 $- 20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 20 x^{\frac{1}{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 20 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$ 。

$9 x^{2} + 0 - 20 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{4}$ 。

$9 x^{2} + 0 - 20 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

解题步骤 4.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$9 x^{2} + 0 - 20 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

解题步骤 4.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$9 x^{2} + 0 - 20 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

解题步骤 4.6

在公分母上合并分子。

$9 x^{2} + 0 - 20 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

解题步骤 4.7

化简分子。

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解题步骤 4.7.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$9 x^{2} + 0 - 20 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

解题步骤 4.7.2

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$9 x^{2} + 0 - 20 (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

解题步骤 4.8

将负号移到分数的前面。

$9 x^{2} + 0 - 20 (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

解题步骤 4.9

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{- \frac{3}{4}}$ 。

$9 x^{2} + 0 - 20 \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

解题步骤 4.10

组合 $- 20$ 和 $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ 。

$9 x^{2} + 0 + \frac{- 20 x^{- \frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

解题步骤 4.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{3}{4}}$ 移动到分母。

$9 x^{2} + 0 + \frac{- 20}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

解题步骤 4.12

从 $- 20$ 中分解出因数 $4$ 。

$9 x^{2} + 0 + \frac{4 \cdot - 5}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

解题步骤 4.13

约去公因数。

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解题步骤 4.13.1

从 $4 x^{\frac{3}{4}}$ 中分解出因数 $4$ 。

$9 x^{2} + 0 + \frac{4 \cdot - 5}{4 (x^{\frac{3}{4}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

解题步骤 4.13.2

约去公因数。

$9 x^{2} + 0 + \frac{4 \cdot - 5}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

解题步骤 4.13.3

重写表达式。

$9 x^{2} + 0 + \frac{- 5}{x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

解题步骤 4.14

将负号移到分数的前面。

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

解题步骤 5

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$ 。

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解题步骤 5.1

因为 $- 18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{18}{x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 。

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} - 18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

解题步骤 5.2

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 重写为 ${(x^{3})}^{- 1}$ 。

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} - 18 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

解题步骤 5.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

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解题步骤 5.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3}$ 。

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} - 18 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 5.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} - 18 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 5.3.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} - 18 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} - 18 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

解题步骤 5.5

将 ${(x^{3})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} - 18 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

解题步骤 5.5.2

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} - 18 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

解题步骤 5.6

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} - 18 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

解题步骤 5.7

通过指数相加将 $x^{- 6}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.7.1

移动 $x^{2}$ 。

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} - 18 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

解题步骤 5.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} - 18 (- 3 x^{2 - 6})$

解题步骤 5.7.3

从 $2$ 中减去 $6$ 。

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} - 18 (- 3 x^{- 4})$

解题步骤 5.8

将 $- 3$ 乘以 $- 18$ 。

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} + 54 x^{- 4}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} + 54 \frac{1}{x^{4}}$

解题步骤 6.2

合并项。

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解题步骤 6.2.1

将 $9 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$9 x^{2} - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} + 54 \frac{1}{x^{4}}$

解题步骤 6.2.2

组合 $54$ 和 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$9 x^{2} - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} + \frac{54}{x^{4}}$

解题步骤 6.3

重新排序项。

$9 x^{2} + \frac{54}{x^{4}} - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}}$

微积分学 示例

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