微积分学示例

$f (x) = 300 - x - \frac{3 x}{x + 2}$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $300 - x - \frac{3 x}{x + 2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [300] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{x + 2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [300] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{x + 2}]$

解题步骤 1.2

因为 $300$ 对于 $x$ 是常数，所以 $300$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{x + 2}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{x + 2}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{x + 2}]$

解题步骤 2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 - 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{x + 2}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{x + 2}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{3 x}{x + 2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 2}]$ 。

$0 - 1 - 3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 2}]$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x + 2$ 。

$0 - 1 - 3 \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 1 - 3 \frac{(x + 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.4

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$0 - 1 - 3 \frac{(x + 2) \cdot 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 1 - 3 \frac{(x + 2) \cdot 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.6

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 - 1 - 3 \frac{(x + 2) \cdot 1 - x (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.7

将 $x + 2$ 乘以 $1$ 。

$0 - 1 - 3 \frac{x + 2 - x (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.8

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$0 - 1 - 3 \frac{x + 2 - x \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 - 1 - 3 \frac{x + 2 - x}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.10

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$0 - 1 - 3 \frac{0 + 2}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.11

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$0 - 1 - 3 \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.12

组合 $- 3$ 和 $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ 。

$0 - 1 + \frac{- 3 \cdot 2}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.13

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$0 - 1 + \frac{- 6}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.14

将负号移到分数的前面。

$0 - 1 - \frac{6}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- 1 - \frac{6}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.2

重新排序项。

$- \frac{6}{{(x + 2)}^{2}} - 1$

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