微积分学示例

$f (x) = 3 + 3 x + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{5}{6} x^{3} + \frac{1}{24} x^{4} + \frac{1}{120} x^{5}$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $3 + 3 x + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{5}{6} x^{3} + \frac{1}{24} x^{4} + \frac{1}{120} x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$ 。

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

解题步骤 1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

解题步骤 2.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$0 + 3 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2} x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$0 + 3 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 3 + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

解题步骤 3.3

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$0 + 3 + \frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

解题步骤 3.4

组合 $\frac{2}{2}$ 和 $x$ 。

$0 + 3 + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

解题步骤 3.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1

约去公因数。

$0 + 3 + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

解题步骤 3.5.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$0 + 3 + x + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}]$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $\frac{5}{6}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5}{6} x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{5}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$0 + 3 + x + \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$0 + 3 + x + \frac{5}{6} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

解题步骤 4.3

组合 $3$ 和 $\frac{5}{6}$ 。

$0 + 3 + x + \frac{3 \cdot 5}{6} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

解题步骤 4.4

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$0 + 3 + x + \frac{15}{6} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

解题步骤 4.5

组合 $\frac{15}{6}$ 和 $x^{2}$ 。

$0 + 3 + x + \frac{15 x^{2}}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

解题步骤 4.6

约去 $15$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.1

从 $15 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$0 + 3 + x + \frac{3 (5 x^{2})}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

解题步骤 4.6.2

约去公因数。

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解题步骤 4.6.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$0 + 3 + x + \frac{3 (5 x^{2})}{3 (2)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

解题步骤 4.6.2.2

约去公因数。

$0 + 3 + x + \frac{3 (5 x^{2})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

解题步骤 4.6.2.3

重写表达式。

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

解题步骤 5

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}]$ 。

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解题步骤 5.1

因为 $\frac{1}{24}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{24} x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{24} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{1}{24} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{1}{24} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

解题步骤 5.3

组合 $4$ 和 $\frac{1}{24}$ 。

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{4}{24} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

解题步骤 5.4

组合 $\frac{4}{24}$ 和 $x^{3}$ 。

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{4 x^{3}}{24} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

解题步骤 5.5

约去 $4$ 和 $24$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{4 (x^{3})}{24} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

解题步骤 5.5.2

约去公因数。

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解题步骤 5.5.2.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

解题步骤 5.5.2.2

约去公因数。

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

解题步骤 5.5.2.3

重写表达式。

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

解题步骤 6

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$ 。

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解题步骤 6.1

因为 $\frac{1}{120}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{120} x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{120} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{1}{120} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{1}{120} (5 x^{4})$

解题步骤 6.3

组合 $5$ 和 $\frac{1}{120}$ 。

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{5}{120} x^{4}$

解题步骤 6.4

组合 $\frac{5}{120}$ 和 $x^{4}$ 。

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{5 x^{4}}{120}$

解题步骤 6.5

约去 $5$ 和 $120$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.1

从 $5 x^{4}$ 中分解出因数 $5$ 。

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{5 (x^{4})}{120}$

解题步骤 6.5.2

约去公因数。

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解题步骤 6.5.2.1

从 $120$ 中分解出因数 $5$ 。

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{5 x^{4}}{5 \cdot 24}$

解题步骤 6.5.2.2

约去公因数。

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{5 x^{4}}{5 \cdot 24}$

解题步骤 6.5.2.3

重写表达式。

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $0$ 和 $3$ 相加。

$3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24}$

解题步骤 7.2

重新排序项。

$\frac{x^{4}}{24} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{5 x^{2}}{2} + x + 3$

微积分学 示例

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