微积分学示例

$h (x) = {(8 - 5 x)}^{3} - 7 {(8 - 5 x)}^{2} + 3 (8 - 5 x) - 1$

解题步骤 1

将 ${(8 - 5 x)}^{2}$ 重写为 $(8 - 5 x) (8 - 5 x)$ 。

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 ((8 - 5 x) (8 - 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

解题步骤 2

使用 FOIL 方法展开 $(8 - 5 x) (8 - 5 x)$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (8 (8 - 5 x) - 5 x (8 - 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (8 \cdot 8 + 8 (- 5 x) - 5 x (8 - 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (8 \cdot 8 + 8 (- 5 x) - 5 x \cdot 8 - 5 x (- 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

解题步骤 3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 + 8 (- 5 x) - 5 x \cdot 8 - 5 x (- 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

解题步骤 3.1.2

将 $- 5$ 乘以 $8$ 。

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 40 x - 5 x \cdot 8 - 5 x (- 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

解题步骤 3.1.3

将 $8$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 40 x - 40 x - 5 x (- 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

解题步骤 3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 40 x - 40 x - 5 \cdot - 5 x \cdot x) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

解题步骤 3.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 40 x - 40 x - 5 \cdot - 5 (x \cdot x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

解题步骤 3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 40 x - 40 x - 5 \cdot - 5 x^{2}) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

解题步骤 3.1.6

将 $- 5$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 40 x - 40 x + 25 x^{2}) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

解题步骤 3.2

从 $- 40 x$ 中减去 $40 x$ 。

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 80 x + 25 x^{2}) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

解题步骤 4

根据加法法则， ${(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 80 x + 25 x^{2}) + 3 (8 - 5 x) - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5

计算 $\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3}]$ 。

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解题步骤 5.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 8 - 5 x$ 。

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解题步骤 5.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $8 - 5 x$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [8 - 5 x] + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [8 - 5 x] + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5.1.3

使用 $8 - 5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 {(8 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [8 - 5 x] + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5.2

根据加法法则， $8 - 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ 。

$3 {(8 - 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5.3

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 {(8 - 5 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5.4

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 {(8 - 5 x)}^{2} (0 - 5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 {(8 - 5 x)}^{2} (0 - 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5.6

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$3 {(8 - 5 x)}^{2} (0 - 5) + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5.7

从 $0$ 中减去 $5$ 。

$3 {(8 - 5 x)}^{2} \cdot - 5 + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5.8

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 6

计算 $\frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})]$ 。

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解题步骤 6.1

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d x} [64 - 80 x + 25 x^{2}]$ 。

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 \frac{d}{d x} [64 - 80 x + 25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 6.2

根据加法法则， $64 - 80 x + 25 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [64] + \frac{d}{d x} [- 80 x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]$ 。

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (\frac{d}{d x} [64] + \frac{d}{d x} [- 80 x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 6.3

因为 $64$ 对于 $x$ 是常数，所以 $64$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (0 + \frac{d}{d x} [- 80 x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 6.4

因为 $- 80$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 80 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 80 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (0 - 80 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 6.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (0 - 80 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 6.6

因为 $25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $25 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (0 - 80 \cdot 1 + 25 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 6.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (0 - 80 \cdot 1 + 25 (2 x)) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 6.8

将 $- 80$ 乘以 $1$ 。

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (0 - 80 + 25 (2 x)) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 6.9

从 $0$ 中减去 $80$ 。

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 25 (2 x)) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 6.10

将 $2$ 乘以 $25$ 。

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 7

计算 $\frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)]$ 。

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解题步骤 7.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 (8 - 5 x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [8 - 5 x]$ 。

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 \frac{d}{d x} [8 - 5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 7.2

根据加法法则， $8 - 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ 。

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 7.3

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 7.4

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 (0 - 5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 7.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 (0 - 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 7.6

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 (0 - 5) + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 7.7

从 $0$ 中减去 $5$ 。

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 \cdot - 5 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 7.8

将 $3$ 乘以 $- 5$ 。

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) - 15 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 8

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) - 15 + 0$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 \cdot - 80 - 7 (50 x) - 15 + 0$

解题步骤 9.2

合并项。

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解题步骤 9.2.1

将 $- 7$ 乘以 $- 80$ 。

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} + 560 - 7 (50 x) - 15 + 0$

解题步骤 9.2.2

将 $50$ 乘以 $- 7$ 。

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} + 560 - 350 x - 15 + 0$

解题步骤 9.2.3

从 $560$ 中减去 $15$ 。

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 350 x + 545 + 0$

解题步骤 9.2.4

将 $- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 350 x + 545$ 和 $0$ 相加。

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 350 x + 545$

解题步骤 9.3

化简每一项。

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解题步骤 9.3.1

将 ${(8 - 5 x)}^{2}$ 重写为 $(8 - 5 x) (8 - 5 x)$ 。

$- 15 ((8 - 5 x) (8 - 5 x)) - 350 x + 545$

解题步骤 9.3.2

使用 FOIL 方法展开 $(8 - 5 x) (8 - 5 x)$ 。

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解题步骤 9.3.2.1

运用分配律。

$- 15 (8 (8 - 5 x) - 5 x (8 - 5 x)) - 350 x + 545$

解题步骤 9.3.2.2

运用分配律。

$- 15 (8 \cdot 8 + 8 (- 5 x) - 5 x (8 - 5 x)) - 350 x + 545$

解题步骤 9.3.2.3

运用分配律。

$- 15 (8 \cdot 8 + 8 (- 5 x) - 5 x \cdot 8 - 5 x (- 5 x)) - 350 x + 545$

解题步骤 9.3.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 9.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 9.3.3.1.1

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$- 15 (64 + 8 (- 5 x) - 5 x \cdot 8 - 5 x (- 5 x)) - 350 x + 545$

解题步骤 9.3.3.1.2

将 $- 5$ 乘以 $8$ 。

$- 15 (64 - 40 x - 5 x \cdot 8 - 5 x (- 5 x)) - 350 x + 545$

解题步骤 9.3.3.1.3

将 $8$ 乘以 $- 5$ 。

$- 15 (64 - 40 x - 40 x - 5 x (- 5 x)) - 350 x + 545$

解题步骤 9.3.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$- 15 (64 - 40 x - 40 x - 5 \cdot - 5 x \cdot x) - 350 x + 545$

解题步骤 9.3.3.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 9.3.3.1.5.1

移动 $x$ 。

$- 15 (64 - 40 x - 40 x - 5 \cdot - 5 (x \cdot x)) - 350 x + 545$

解题步骤 9.3.3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- 15 (64 - 40 x - 40 x - 5 \cdot - 5 x^{2}) - 350 x + 545$

解题步骤 9.3.3.1.6

将 $- 5$ 乘以 $- 5$ 。

$- 15 (64 - 40 x - 40 x + 25 x^{2}) - 350 x + 545$

解题步骤 9.3.3.2

从 $- 40 x$ 中减去 $40 x$ 。

$- 15 (64 - 80 x + 25 x^{2}) - 350 x + 545$

解题步骤 9.3.4

运用分配律。

$- 15 \cdot 64 - 15 (- 80 x) - 15 (25 x^{2}) - 350 x + 545$

解题步骤 9.3.5

化简。

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解题步骤 9.3.5.1

将 $- 15$ 乘以 $64$ 。

$- 960 - 15 (- 80 x) - 15 (25 x^{2}) - 350 x + 545$

解题步骤 9.3.5.2

将 $- 80$ 乘以 $- 15$ 。

$- 960 + 1200 x - 15 (25 x^{2}) - 350 x + 545$

解题步骤 9.3.5.3

将 $25$ 乘以 $- 15$ 。

$- 960 + 1200 x - 375 x^{2} - 350 x + 545$

解题步骤 9.4

将 $- 960$ 和 $545$ 相加。

$1200 x - 375 x^{2} - 350 x - 415$

解题步骤 9.5

从 $1200 x$ 中减去 $350 x$ 。

$- 375 x^{2} + 850 x - 415$

微积分学 示例

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