微积分学示例

$h (x) = \frac{\ln (6 t)}{\ln (12 t)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = \ln (6 t)$ 且 $g (t) = \ln (12 t)$ 。

$\frac{\ln (12 t) \frac{d}{d t} [\ln (6 t)] - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \ln (t)$ 且 $g (t) = 6 t$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $6 t$ 。

$\frac{\ln (12 t) (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [6 t]) - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 2.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{\ln (12 t) (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [6 t]) - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 2.3

使用 $6 t$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{\ln (12 t) (\frac{1}{6 t} \frac{d}{d t} [6 t]) - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{6 t}$ 和 $\ln (12 t)$ 。

$\frac{\frac{\ln (12 t)}{6 t} \frac{d}{d t} [6 t] - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 3.2

因为 $6$ 对于 $t$ 是常数，所以 $6 t$ 对 $t$ 的导数是 $6 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{\frac{\ln (12 t)}{6 t} (6 \frac{d}{d t} [t]) - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 3.3

化简项。

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解题步骤 3.3.1

组合 $6$ 和 $\frac{\ln (12 t)}{6 t}$ 。

$\frac{\frac{6 \ln (12 t)}{6 t} \frac{d}{d t} [t] - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 3.3.2

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1

约去公因数。

$\frac{\frac{6 \ln (12 t)}{6 t} \frac{d}{d t} [t] - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 3.3.2.2

重写表达式。

$\frac{\frac{\ln (12 t)}{t} \frac{d}{d t} [t] - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\frac{\ln (12 t)}{t} \cdot 1 - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 3.5

将 $\frac{\ln (12 t)}{t}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{\ln (12 t)}{t} - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 4

将 $\frac{\frac{\ln (12 t)}{t} - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$ 乘以 $\frac{t}{t}$ 。

$\frac{t}{t} \cdot \frac{\frac{\ln (12 t)}{t} - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

合并。

$\frac{t (\frac{\ln (12 t)}{t} - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)])}{t \ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{t \frac{\ln (12 t)}{t} + t (- \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)])}{t \ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 5.3

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

约去公因数。

$\frac{t \frac{\ln (12 t)}{t} + t (- \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)])}{t \ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 5.3.2

重写表达式。

$\frac{\ln (12 t) + t (- \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)])}{t \ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \ln (t)$ 且 $g (t) = 12 t$ 。

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解题步骤 6.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $12 t$ 。

$\frac{\ln (12 t) + t (- \ln (6 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d t} [12 t]))}{t \ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 6.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$\frac{\ln (12 t) + t (- \ln (6 t) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d t} [12 t]))}{t \ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 6.3

使用 $12 t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{\ln (12 t) + t (- \ln (6 t) (\frac{1}{12 t} \frac{d}{d t} [12 t]))}{t \ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 7

求微分。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{12 t}$ 和 $\ln (6 t)$ 。

$\frac{\ln (12 t) + t (- \frac{\ln (6 t)}{12 t} \frac{d}{d t} [12 t])}{t \ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 7.2

化简项。

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解题步骤 7.2.1

组合 $t$ 和 $\frac{\ln (6 t)}{12 t}$ 。

$\frac{\ln (12 t) - \frac{t \ln (6 t)}{12 t} \frac{d}{d t} [12 t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 7.2.2

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.1

约去公因数。

$\frac{\ln (12 t) - \frac{t \ln (6 t)}{12 t} \frac{d}{d t} [12 t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 7.2.2.2

重写表达式。

$\frac{\ln (12 t) - \frac{\ln (6 t)}{12} \frac{d}{d t} [12 t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 7.3

因为 $12$ 对于 $t$ 是常数，所以 $12 t$ 对 $t$ 的导数是 $12 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{\ln (12 t) - \frac{\ln (6 t)}{12} (12 \frac{d}{d t} [t])}{t \ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 7.4

化简项。

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解题步骤 7.4.1

将 $12$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\ln (12 t) - 12 \frac{\ln (6 t)}{12} \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 7.4.2

组合 $- 12$ 和 $\frac{\ln (6 t)}{12}$ 。

$\frac{\ln (12 t) + \frac{- 12 \ln (6 t)}{12} \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 7.4.3

约去 $- 12$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.3.1

从 $- 12 \ln (6 t)$ 中分解出因数 $12$ 。

$\frac{\ln (12 t) + \frac{12 (- \ln (6 t))}{12} \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 7.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 7.4.3.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $12$ 。

$\frac{\ln (12 t) + \frac{12 (- \ln (6 t))}{12 (1)} \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 7.4.3.2.2

约去公因数。

$\frac{\ln (12 t) + \frac{12 (- \ln (6 t))}{12 \cdot 1} \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 7.4.3.2.3

重写表达式。

$\frac{\ln (12 t) + \frac{- \ln (6 t)}{1} \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 7.4.3.2.4

用 $- \ln (6 t)$ 除以 $1$ 。

$\frac{\ln (12 t) - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 7.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\ln (12 t) - \ln (6 t) \cdot 1}{t \ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 7.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\ln (12 t) - \ln (6 t)}{t \ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 8

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{\ln (\frac{12 t}{6 t})}{t \ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 9

约去 $12$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 9.1

从 $12 t$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{\ln (\frac{6 (2 t)}{6 t})}{t \ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 9.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.1

从 $6 t$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{\ln (\frac{6 (2 t)}{6 (t)})}{t \ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 9.2.2

约去公因数。

$\frac{\ln (\frac{6 (2 t)}{6 t})}{t \ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 9.2.3

重写表达式。

$\frac{\ln (\frac{2 t}{t})}{t \ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 10

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 10.1

约去公因数。

$\frac{\ln (\frac{2 t}{t})}{t \ln^{2} (12 t)}$

解题步骤 10.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{\ln (2)}{t \ln^{2} (12 t)}$

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