微积分学示例

$h (t) = {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{3}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = {(t + 1)}^{\frac{2}{3}}$ 且 $g (t) = {(2 t^{2} - 1)}^{3}$ 。

${(t + 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 1)}^{3}] + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{3}$ 且 $g (t) = 2 t^{2} - 1$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 t^{2} - 1$ 。

${(t + 1)}^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]) + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

${(t + 1)}^{\frac{2}{3}} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]) + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2.3

使用 $2 t^{2} - 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

${(t + 1)}^{\frac{2}{3}} (3 {(2 t^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]) + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $3$ 移到 ${(t + 1)}^{\frac{2}{3}}$ 的左侧。

$3 \cdot {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1] + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $2 t^{2} - 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ 。

$3 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]) + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 3.3

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$3 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]) + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 1]) + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 3.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$3 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} (4 t + \frac{d}{d t} [- 1]) + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 3.6

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$3 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} (4 t + 0) + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 3.7

化简表达式。

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解题步骤 3.7.1

将 $4 t$ 和 $0$ 相加。

$3 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} (4 t) + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 3.7.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{\frac{2}{3}}$ 且 $g (t) = t + 1$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $t + 1$ 。

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d t} [t + 1])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [t + 1])$

解题步骤 4.3

使用 $t + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2}{3} {(t + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [t + 1])$

解题步骤 5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2}{3} {(t + 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

解题步骤 6

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2}{3} {(t + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

解题步骤 7

在公分母上合并分子。

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2}{3} {(t + 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2}{3} {(t + 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

解题步骤 8.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2}{3} {(t + 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

解题步骤 9

合并分数。

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解题步骤 9.1

将负号移到分数的前面。

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2}{3} {(t + 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

解题步骤 9.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${(t + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ 。

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2 {(t + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [t + 1])$

解题步骤 9.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(t + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

解题步骤 9.4

组合 $\frac{2}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ 和 ${(2 t^{2} - 1)}^{3}$ 。

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + \frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [t + 1]$

解题步骤 10

根据加法法则， $t + 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ 。

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + \frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])$

解题步骤 11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + \frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d t} [1])$

解题步骤 12

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + \frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0)$

解题步骤 13

化简表达式。

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解题步骤 13.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + \frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

解题步骤 13.2

将 $\frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ 乘以 $1$ 。

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + \frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 14

要将 $12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t \cdot \frac{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 15

组合 $12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t$ 和 $\frac{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$\frac{12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t (3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 16

在公分母上合并分子。

$\frac{12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t (3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}) + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 17

将 $3$ 乘以 $12$ 。

$\frac{36 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t {(t + 1)}^{\frac{1}{3}} + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 18

通过指数相加将 ${(t + 1)}^{\frac{2}{3}}$ 乘以 ${(t + 1)}^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 18.1

移动 ${(t + 1)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{36 ({(t + 1)}^{\frac{1}{3}} {(t + 1)}^{\frac{2}{3}}) {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 18.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{36 {(t + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 18.3

在公分母上合并分子。

$\frac{36 {(t + 1)}^{\frac{1 + 2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 18.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{36 {(t + 1)}^{\frac{3}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 18.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$\frac{36 {(t + 1)}^{1} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 19

化简 $36 {(t + 1)}^{1} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t$ 。

$\frac{36 (t + 1) {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 20

化简。

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解题步骤 20.1

运用分配律。

$\frac{(36 t + 36 \cdot 1) {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 20.2

化简分子。

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解题步骤 20.2.1

从 $(36 t + 36 \cdot 1) {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}$ 中分解出因数 ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 20.2.1.1

从 $(36 t + 36 \cdot 1) {(2 t^{2} - 1)}^{2} t$ 中分解出因数 ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ 。

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} ((36 t + 36 \cdot 1) t) + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 20.2.1.2

从 $2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}$ 中分解出因数 ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ 。

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} ((36 t + 36 \cdot 1) t) + {(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 (2 t^{2} - 1))}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 20.2.1.3

从 ${(2 t^{2} - 1)}^{2} ((36 t + 36 \cdot 1) t) + {(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 (2 t^{2} - 1))$ 中分解出因数 ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ 。

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} ((36 t + 36 \cdot 1) t + 2 (2 t^{2} - 1))}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 20.2.2

将 $36$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} ((36 t + 36) t + 2 (2 t^{2} - 1))}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 20.2.3

运用分配律。

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (36 t \cdot t + 36 t + 2 (2 t^{2} - 1))}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 20.2.4

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 20.2.4.1

移动 $t$ 。

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (36 (t \cdot t) + 36 t + 2 (2 t^{2} - 1))}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 20.2.4.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (36 t^{2} + 36 t + 2 (2 t^{2} - 1))}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 20.2.5

运用分配律。

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (36 t^{2} + 36 t + 2 (2 t^{2}) + 2 \cdot - 1)}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 20.2.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (36 t^{2} + 36 t + 4 t^{2} + 2 \cdot - 1)}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 20.2.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (36 t^{2} + 36 t + 4 t^{2} - 2)}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 20.2.8

将 $36 t^{2}$ 和 $4 t^{2}$ 相加。

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (40 t^{2} + 36 t - 2)}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 20.2.9

从 $40 t^{2} + 36 t - 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 20.2.9.1

从 $40 t^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 (20 t^{2}) + 36 t - 2)}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 20.2.9.2

从 $36 t$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 (20 t^{2}) + 2 (18 t) - 2)}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 20.2.9.3

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 (20 t^{2}) + 2 (18 t) + 2 (- 1))}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 20.2.9.4

从 $2 (20 t^{2}) + 2 (18 t)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 (20 t^{2} + 18 t) + 2 (- 1))}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 20.2.9.5

从 $2 (20 t^{2} + 18 t) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 (20 t^{2} + 18 t - 1))}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} \cdot 2 (20 t^{2} + 18 t - 1)}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 20.3

将 $2$ 移到 ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ 的左侧。

$\frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} (20 t^{2} + 18 t - 1)}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

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