微积分学示例

$h (t) = \frac{t^{9} - 7 t^{3} + 6 t^{2}}{6 t^{2}}$

解题步骤 1

因为 $\frac{1}{6}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{t^{9} - 7 t^{3} + 6 t^{2}}{6 t^{2}}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [\frac{t^{9} - 7 t^{3} + 6 t^{2}}{t^{2}}]$ 。

$\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [\frac{t^{9} - 7 t^{3} + 6 t^{2}}{t^{2}}]$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

从 $t^{9} - 7 t^{3} + 6 t^{2}$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.1

从 $t^{9}$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

$\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} t^{7} - 7 t^{3} + 6 t^{2}}{t^{2}}]$

解题步骤 2.1.2

从 $- 7 t^{3}$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

$\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} t^{7} + t^{2} (- 7 t) + 6 t^{2}}{t^{2}}]$

解题步骤 2.1.3

从 $6 t^{2}$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

$\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} t^{7} + t^{2} (- 7 t) + t^{2} \cdot 6}{t^{2}}]$

解题步骤 2.1.4

从 $t^{2} t^{7} + t^{2} (- 7 t)$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

$\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} (t^{7} - 7 t) + t^{2} \cdot 6}{t^{2}}]$

解题步骤 2.1.5

从 $t^{2} (t^{7} - 7 t) + t^{2} \cdot 6$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

$\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} (t^{7} - 7 t + 6)}{t^{2}}]$

解题步骤 2.2

约去 $t^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} (t^{7} - 7 t + 6)}{t^{2}}]$

解题步骤 2.2.2

用 $t^{7} - 7 t + 6$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [t^{7} - 7 t + 6]$

解题步骤 3

根据加法法则， $t^{7} - 7 t + 6$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{7}] + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [6]$ 。

$\frac{1}{6} (\frac{d}{d t} [t^{7}] + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [6])$

解题步骤 4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$\frac{1}{6} (7 t^{6} + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [6])$

解题步骤 5

因为 $- 7$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 7 t$ 对 $t$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{1}{6} (7 t^{6} - 7 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [6])$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{6} (7 t^{6} - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [6])$

解题步骤 7

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{6} (7 t^{6} - 7 + \frac{d}{d t} [6])$

解题步骤 8

因为 $6$ 对于 $t$ 是常数，所以 $6$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{6} (7 t^{6} - 7 + 0)$

解题步骤 9

将 $7 t^{6} - 7$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{6} (7 t^{6} - 7)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$\frac{1}{6} (7 t^{6}) + \frac{1}{6} \cdot - 7$

解题步骤 10.2

合并项。

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解题步骤 10.2.1

组合 $7$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$\frac{7}{6} t^{6} + \frac{1}{6} \cdot - 7$

解题步骤 10.2.2

组合 $\frac{7}{6}$ 和 $t^{6}$ 。

$\frac{7 t^{6}}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 7$

解题步骤 10.2.3

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $- 7$ 。

$\frac{7 t^{6}}{6} + \frac{- 7}{6}$

解题步骤 10.2.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{7 t^{6}}{6} - \frac{7}{6}$

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