微积分学示例

$h (t) = {(t^{2} + t)}^{4} (2 t^{2})$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

将 $2$ 移到 ${(t^{2} + t)}^{4}$ 的左侧。

$\frac{d}{d t} [2 \cdot {(t^{2} + t)}^{4} t^{2}]$

解题步骤 1.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 {(t^{2} + t)}^{4} t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [{(t^{2} + t)}^{4} t^{2}]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [{(t^{2} + t)}^{4} t^{2}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = {(t^{2} + t)}^{4}$ 且 $g (t) = t^{2}$ 。

$2 ({(t^{2} + t)}^{4} \frac{d}{d t} [t^{2}] + t^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + t)}^{4}])$

解题步骤 3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 ({(t^{2} + t)}^{4} (2 t) + t^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + t)}^{4}])$

解题步骤 3.2

将 $2$ 移到 ${(t^{2} + t)}^{4}$ 的左侧。

$2 (2 \cdot {(t^{2} + t)}^{4} t + t^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + t)}^{4}])$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{4}$ 且 $g (t) = t^{2} + t$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $t^{2} + t$ 。

$2 (2 {(t^{2} + t)}^{4} t + t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d t} [t^{2} + t]))$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$2 (2 {(t^{2} + t)}^{4} t + t^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d t} [t^{2} + t]))$

解题步骤 4.3

使用 $t^{2} + t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (2 {(t^{2} + t)}^{4} t + t^{2} (4 {(t^{2} + t)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2} + t]))$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

根据加法法则， $t^{2} + t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 (2 {(t^{2} + t)}^{4} t + t^{2} (4 {(t^{2} + t)}^{3} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t])))$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (2 {(t^{2} + t)}^{4} t + t^{2} (4 {(t^{2} + t)}^{3} (2 t + \frac{d}{d t} [t])))$

解题步骤 5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (2 {(t^{2} + t)}^{4} t + t^{2} (4 {(t^{2} + t)}^{3} (2 t + 1)))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$2 (2 {(t^{2} + t)}^{4} t) + 2 (t^{2} (4 {(t^{2} + t)}^{3} (2 t + 1)))$

解题步骤 6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 ({(t^{2} + t)}^{4} t) + 2 (t^{2} (4 {(t^{2} + t)}^{3} (2 t + 1)))$

解题步骤 6.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$4 {(t^{2} + t)}^{4} t + 8 (t^{2} ({(t^{2} + t)}^{3} (2 t + 1)))$

解题步骤 6.4

从 $4 {(t^{2} + t)}^{4} t + 8 t^{2} ({(t^{2} + t)}^{3} (2 t + 1))$ 中分解出因数 $4 {(t^{2} + t)}^{3} t$ 。

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解题步骤 6.4.1

从 $4 {(t^{2} + t)}^{4} t$ 中分解出因数 $4 {(t^{2} + t)}^{3} t$ 。

$4 {(t^{2} + t)}^{3} t ((t + 1) t) + 8 t^{2} ({(t^{2} + t)}^{3} (2 t + 1))$

解题步骤 6.4.2

从 $8 t^{2} ({(t^{2} + t)}^{3} (2 t + 1))$ 中分解出因数 $4 {(t^{2} + t)}^{3} t$ 。

$4 {(t^{2} + t)}^{3} t ((t + 1) t) + 4 {(t^{2} + t)}^{3} t (2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.4.3

从 $4 {(t^{2} + t)}^{3} t ((t + 1) t) + 4 {(t^{2} + t)}^{3} t (2 t (2 t + 1))$ 中分解出因数 $4 {(t^{2} + t)}^{3} t$ 。

$4 {(t^{2} + t)}^{3} t ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.5

重新排序 $4 {(t^{2} + t)}^{3} t ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$ 的因式。

$4 t {(t^{2} + t)}^{3} ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.6

使用二项式定理。

$4 t ({(t^{2})}^{3} + 3 {(t^{2})}^{2} t + 3 t^{2} t^{2} + t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.7

化简每一项。

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解题步骤 6.7.1

将 ${(t^{2})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.7.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 t (t^{2 \cdot 3} + 3 {(t^{2})}^{2} t + 3 t^{2} t^{2} + t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.7.1.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$4 t (t^{6} + 3 {(t^{2})}^{2} t + 3 t^{2} t^{2} + t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.7.2

将 ${(t^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.7.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 t (t^{6} + 3 t^{2 \cdot 2} t + 3 t^{2} t^{2} + t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.7.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 t (t^{6} + 3 t^{4} t + 3 t^{2} t^{2} + t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.7.3

通过指数相加将 $t^{4}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 6.7.3.1

移动 $t$ 。

$4 t (t^{6} + 3 (t \cdot t^{4}) + 3 t^{2} t^{2} + t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.7.3.2

将 $t$ 乘以 $t^{4}$ 。

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解题步骤 6.7.3.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 t (t^{6} + 3 (t^{1} t^{4}) + 3 t^{2} t^{2} + t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.7.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 t (t^{6} + 3 t^{1 + 4} + 3 t^{2} t^{2} + t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.7.3.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$4 t (t^{6} + 3 t^{5} + 3 t^{2} t^{2} + t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.7.4

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 6.7.4.1

移动 $t^{2}$ 。

$4 t (t^{6} + 3 t^{5} + 3 (t^{2} t^{2}) + t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.7.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 t (t^{6} + 3 t^{5} + 3 t^{2 + 2} + t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.7.4.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$4 t (t^{6} + 3 t^{5} + 3 t^{4} + t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.8

运用分配律。

$(4 t \cdot t^{6} + 4 t (3 t^{5}) + 4 t (3 t^{4}) + 4 t \cdot t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.9

化简。

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解题步骤 6.9.1

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{6}$ 。

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解题步骤 6.9.1.1

移动 $t^{6}$ 。

$(4 (t^{6} t) + 4 t (3 t^{5}) + 4 t (3 t^{4}) + 4 t \cdot t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.9.1.2

将 $t^{6}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 6.9.1.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$(4 (t^{6} t^{1}) + 4 t (3 t^{5}) + 4 t (3 t^{4}) + 4 t \cdot t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.9.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(4 t^{6 + 1} + 4 t (3 t^{5}) + 4 t (3 t^{4}) + 4 t \cdot t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.9.1.3

将 $6$ 和 $1$ 相加。

$(4 t^{7} + 4 t (3 t^{5}) + 4 t (3 t^{4}) + 4 t \cdot t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.9.2

使用乘法的交换性质重写。

$(4 t^{7} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{5} + 4 t (3 t^{4}) + 4 t \cdot t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.9.3

使用乘法的交换性质重写。

$(4 t^{7} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{5} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{4} + 4 t \cdot t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.9.4

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{3}$ 。

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解题步骤 6.9.4.1

移动 $t^{3}$ 。

$(4 t^{7} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{5} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{4} + 4 (t^{3} t)) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.9.4.2

将 $t^{3}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 6.9.4.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$(4 t^{7} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{5} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{4} + 4 (t^{3} t^{1})) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.9.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(4 t^{7} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{5} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{4} + 4 t^{3 + 1}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.9.4.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$(4 t^{7} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{5} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{4} + 4 t^{4}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.10

化简每一项。

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解题步骤 6.10.1

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{5}$ 。

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解题步骤 6.10.1.1

移动 $t^{5}$ 。

$(4 t^{7} + 4 \cdot 3 (t^{5} t) + 4 \cdot 3 t \cdot t^{4} + 4 t^{4}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.10.1.2

将 $t^{5}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 6.10.1.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$(4 t^{7} + 4 \cdot 3 (t^{5} t^{1}) + 4 \cdot 3 t \cdot t^{4} + 4 t^{4}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.10.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(4 t^{7} + 4 \cdot 3 t^{5 + 1} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{4} + 4 t^{4}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.10.1.3

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$(4 t^{7} + 4 \cdot 3 t^{6} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{4} + 4 t^{4}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.10.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{4} + 4 t^{4}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.10.3

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{4}$ 。

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解题步骤 6.10.3.1

移动 $t^{4}$ 。

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 4 \cdot 3 (t^{4} t) + 4 t^{4}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.10.3.2

将 $t^{4}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 6.10.3.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 4 \cdot 3 (t^{4} t^{1}) + 4 t^{4}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.10.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 4 \cdot 3 t^{4 + 1} + 4 t^{4}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.10.3.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 4 \cdot 3 t^{5} + 4 t^{4}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.10.4

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.11

化简每一项。

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解题步骤 6.11.1

运用分配律。

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) (t \cdot t + 1 t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.11.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) (t^{2} + 1 t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.11.3

将 $t$ 乘以 $1$ 。

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) (t^{2} + t + 2 t (2 t + 1))$

解题步骤 6.11.4

运用分配律。

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) (t^{2} + t + 2 t (2 t) + 2 t \cdot 1)$

解题步骤 6.11.5

使用乘法的交换性质重写。

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) (t^{2} + t + 2 \cdot 2 t \cdot t + 2 t \cdot 1)$

解题步骤 6.11.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) (t^{2} + t + 2 \cdot 2 t \cdot t + 2 t)$

解题步骤 6.11.7

化简每一项。

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解题步骤 6.11.7.1

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 6.11.7.1.1

移动 $t$ 。

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) (t^{2} + t + 2 \cdot 2 (t \cdot t) + 2 t)$

解题步骤 6.11.7.1.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) (t^{2} + t + 2 \cdot 2 t^{2} + 2 t)$

解题步骤 6.11.7.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) (t^{2} + t + 4 t^{2} + 2 t)$

解题步骤 6.12

将 $t^{2}$ 和 $4 t^{2}$ 相加。

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) (5 t^{2} + t + 2 t)$

解题步骤 6.13

将 $t$ 和 $2 t$ 相加。

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) (5 t^{2} + 3 t)$

解题步骤 6.14

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) (5 t^{2} + 3 t)$ 。

$4 t^{7} (5 t^{2}) + 4 t^{7} (3 t) + 12 t^{6} (5 t^{2}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15

化简每一项。

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解题步骤 6.15.1

使用乘法的交换性质重写。

$4 \cdot 5 t^{7} t^{2} + 4 t^{7} (3 t) + 12 t^{6} (5 t^{2}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.2

通过指数相加将 $t^{7}$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 6.15.2.1

移动 $t^{2}$ 。

$4 \cdot 5 (t^{2} t^{7}) + 4 t^{7} (3 t) + 12 t^{6} (5 t^{2}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \cdot 5 t^{2 + 7} + 4 t^{7} (3 t) + 12 t^{6} (5 t^{2}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.2.3

将 $2$ 和 $7$ 相加。

$4 \cdot 5 t^{9} + 4 t^{7} (3 t) + 12 t^{6} (5 t^{2}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.3

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$20 t^{9} + 4 t^{7} (3 t) + 12 t^{6} (5 t^{2}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.4

使用乘法的交换性质重写。

$20 t^{9} + 4 \cdot 3 t^{7} t + 12 t^{6} (5 t^{2}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.5

通过指数相加将 $t^{7}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 6.15.5.1

移动 $t$ 。

$20 t^{9} + 4 \cdot 3 (t \cdot t^{7}) + 12 t^{6} (5 t^{2}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.5.2

将 $t$ 乘以 $t^{7}$ 。

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解题步骤 6.15.5.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$20 t^{9} + 4 \cdot 3 (t^{1} t^{7}) + 12 t^{6} (5 t^{2}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$20 t^{9} + 4 \cdot 3 t^{1 + 7} + 12 t^{6} (5 t^{2}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.5.3

将 $1$ 和 $7$ 相加。

$20 t^{9} + 4 \cdot 3 t^{8} + 12 t^{6} (5 t^{2}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.6

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 12 t^{6} (5 t^{2}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.7

使用乘法的交换性质重写。

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 12 \cdot 5 t^{6} t^{2} + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.8

通过指数相加将 $t^{6}$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 6.15.8.1

移动 $t^{2}$ 。

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 12 \cdot 5 (t^{2} t^{6}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.8.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 12 \cdot 5 t^{2 + 6} + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.8.3

将 $2$ 和 $6$ 相加。

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 12 \cdot 5 t^{8} + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.9

将 $12$ 乘以 $5$ 。

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.10

使用乘法的交换性质重写。

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 12 \cdot 3 t^{6} t + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.11

通过指数相加将 $t^{6}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 6.15.11.1

移动 $t$ 。

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 12 \cdot 3 (t \cdot t^{6}) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.11.2

将 $t$ 乘以 $t^{6}$ 。

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解题步骤 6.15.11.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 12 \cdot 3 (t^{1} t^{6}) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.11.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 12 \cdot 3 t^{1 + 6} + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.11.3

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 12 \cdot 3 t^{7} + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.12

将 $12$ 乘以 $3$ 。

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.13

使用乘法的交换性质重写。

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 12 \cdot 5 t^{5} t^{2} + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.14

通过指数相加将 $t^{5}$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 6.15.14.1

移动 $t^{2}$ 。

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 12 \cdot 5 (t^{2} t^{5}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.14.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 12 \cdot 5 t^{2 + 5} + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.14.3

将 $2$ 和 $5$ 相加。

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 12 \cdot 5 t^{7} + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.15

将 $12$ 乘以 $5$ 。

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.16

使用乘法的交换性质重写。

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 12 \cdot 3 t^{5} t + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.17

通过指数相加将 $t^{5}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 6.15.17.1

移动 $t$ 。

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 12 \cdot 3 (t \cdot t^{5}) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.17.2

将 $t$ 乘以 $t^{5}$ 。

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解题步骤 6.15.17.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 12 \cdot 3 (t^{1} t^{5}) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.17.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 12 \cdot 3 t^{1 + 5} + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.17.3

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 12 \cdot 3 t^{6} + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.18

将 $12$ 乘以 $3$ 。

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.19

使用乘法的交换性质重写。

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 4 \cdot 5 t^{4} t^{2} + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.20

通过指数相加将 $t^{4}$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 6.15.20.1

移动 $t^{2}$ 。

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 4 \cdot 5 (t^{2} t^{4}) + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.20.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 4 \cdot 5 t^{2 + 4} + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.20.3

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 4 \cdot 5 t^{6} + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.21

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 20 t^{6} + 4 t^{4} (3 t)$

解题步骤 6.15.22

使用乘法的交换性质重写。

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 20 t^{6} + 4 \cdot 3 t^{4} t$

解题步骤 6.15.23

通过指数相加将 $t^{4}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 6.15.23.1

移动 $t$ 。

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 20 t^{6} + 4 \cdot 3 (t \cdot t^{4})$

解题步骤 6.15.23.2

将 $t$ 乘以 $t^{4}$ 。

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解题步骤 6.15.23.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 20 t^{6} + 4 \cdot 3 (t^{1} t^{4})$

解题步骤 6.15.23.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 20 t^{6} + 4 \cdot 3 t^{1 + 4}$

解题步骤 6.15.23.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 20 t^{6} + 4 \cdot 3 t^{5}$

解题步骤 6.15.24

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 20 t^{6} + 12 t^{5}$

解题步骤 6.16

将 $12 t^{8}$ 和 $60 t^{8}$ 相加。

$20 t^{9} + 72 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 20 t^{6} + 12 t^{5}$

解题步骤 6.17

将 $36 t^{7}$ 和 $60 t^{7}$ 相加。

$20 t^{9} + 72 t^{8} + 96 t^{7} + 36 t^{6} + 20 t^{6} + 12 t^{5}$

解题步骤 6.18

将 $36 t^{6}$ 和 $20 t^{6}$ 相加。

$20 t^{9} + 72 t^{8} + 96 t^{7} + 56 t^{6} + 12 t^{5}$

微积分学 示例

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