微积分学示例

$h (t) = \sqrt[4]{t} (\sqrt{t} + t)$

解题步骤 1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[4]{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{4}}$ 。

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}} (\sqrt{t} + t)]$

解题步骤 1.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}} (t^{\frac{1}{2}} + t)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t^{\frac{1}{4}}$ 且 $g (t) = t^{\frac{1}{2}} + t$ 。

$t^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}} + t] + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $t^{\frac{1}{2}} + t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [t]$ 。

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

解题步骤 8

合并分数。

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解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{- \frac{1}{2}}$ 。

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

解题步骤 8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $t^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

解题步骤 9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

解题步骤 10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{4}$ 。

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1})$

解题步骤 11

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

解题步骤 12

组合 $- 1$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

解题步骤 13

在公分母上合并分子。

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) (\frac{1}{4} t^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

解题步骤 14

化简分子。

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解题步骤 14.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) (\frac{1}{4} t^{\frac{1 - 4}{4}})$

解题步骤 14.2

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) (\frac{1}{4} t^{\frac{- 3}{4}})$

解题步骤 15

将负号移到分数的前面。

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) (\frac{1}{4} t^{- \frac{3}{4}})$

解题步骤 16

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $t^{- \frac{3}{4}}$ 。

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{t^{- \frac{3}{4}}}{4}$

解题步骤 17

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $t^{- \frac{3}{4}}$ 移动到分母。

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

解题步骤 18

化简。

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解题步骤 18.1

运用分配律。

$t^{\frac{1}{4}} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

解题步骤 18.2

运用分配律。

$t^{\frac{1}{4}} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

解题步骤 18.3

合并项。

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解题步骤 18.3.1

组合 $t^{\frac{1}{4}}$ 和 $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{t^{\frac{1}{4}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

解题步骤 18.3.2

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $t^{\frac{1}{4}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

解题步骤 18.3.3

通过指数相加将 $t^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $t^{- \frac{1}{4}}$ 。

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解题步骤 18.3.3.1

移动 $t^{- \frac{1}{4}}$ 。

$\frac{1}{2 (t^{- \frac{1}{4}} t^{\frac{1}{2}})} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

解题步骤 18.3.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2 t^{- \frac{1}{4} + \frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

解题步骤 18.3.3.3

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2 t^{- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

解题步骤 18.3.3.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 18.3.3.4.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2 t^{- \frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

解题步骤 18.3.3.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2 t^{- \frac{1}{4} + \frac{2}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

解题步骤 18.3.3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2 t^{\frac{- 1 + 2}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

解题步骤 18.3.3.6

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

解题步骤 18.3.4

将 $t^{\frac{1}{4}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

解题步骤 18.3.5

组合 $t^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$ 。

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

解题步骤 18.3.6

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $t^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}} t^{- \frac{1}{2}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

解题步骤 18.3.7

通过指数相加将 $t^{\frac{3}{4}}$ 乘以 $t^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 18.3.7.1

移动 $t^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 (t^{- \frac{1}{2}} t^{\frac{3}{4}})} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

解题步骤 18.3.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

解题步骤 18.3.7.3

要将 $- \frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

解题步骤 18.3.7.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 18.3.7.4.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{- \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

解题步骤 18.3.7.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{- \frac{2}{4} + \frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

解题步骤 18.3.7.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{- 2 + 3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

解题步骤 18.3.7.6

将 $- 2$ 和 $3$ 相加。

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

解题步骤 18.3.8

组合 $t$ 和 $\frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$ 。

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

解题步骤 18.3.9

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $t^{\frac{3}{4}}$ 移动到分子。

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t \cdot t^{- \frac{3}{4}}}{4}$

解题步骤 18.3.10

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{- \frac{3}{4}}$ 。

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解题步骤 18.3.10.1

将 $t$ 乘以 $t^{- \frac{3}{4}}$ 。

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解题步骤 18.3.10.1.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{1} t^{- \frac{3}{4}}}{4}$

解题步骤 18.3.10.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{1 - \frac{3}{4}}}{4}$

解题步骤 18.3.10.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{\frac{4}{4} - \frac{3}{4}}}{4}$

解题步骤 18.3.10.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{\frac{4 - 3}{4}}}{4}$

解题步骤 18.3.10.4

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{\frac{1}{4}}}{4}$

解题步骤 18.3.11

要将 $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{\frac{1}{4}}}{4}$

解题步骤 18.3.12

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4 t^{\frac{1}{4}}$ 的形式。

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解题步骤 18.3.12.1

将 $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$t^{\frac{1}{4}} + \frac{2}{2 t^{\frac{1}{4}} \cdot 2} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{\frac{1}{4}}}{4}$

解题步骤 18.3.12.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$t^{\frac{1}{4}} + \frac{2}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{\frac{1}{4}}}{4}$

解题步骤 18.3.13

在公分母上合并分子。

$t^{\frac{1}{4}} + \frac{2 + 1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{\frac{1}{4}}}{4}$

解题步骤 18.3.14

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$t^{\frac{1}{4}} + \frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{\frac{1}{4}}}{4}$

解题步骤 18.3.15

要将 $t^{\frac{1}{4}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$t^{\frac{1}{4}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{t^{\frac{1}{4}}}{4} + \frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}}$

解题步骤 18.3.16

组合 $t^{\frac{1}{4}}$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{t^{\frac{1}{4}} \cdot 4}{4} + \frac{t^{\frac{1}{4}}}{4} + \frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}}$

解题步骤 18.3.17

在公分母上合并分子。

$\frac{t^{\frac{1}{4}} \cdot 4 + t^{\frac{1}{4}}}{4} + \frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}}$

解题步骤 18.3.18

将 $4$ 移到 $t^{\frac{1}{4}}$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot t^{\frac{1}{4}} + t^{\frac{1}{4}}}{4} + \frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}}$

解题步骤 18.3.19

将 $4 t^{\frac{1}{4}}$ 和 $t^{\frac{1}{4}}$ 相加。

$\frac{5 t^{\frac{1}{4}}}{4} + \frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}}$

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