微积分学示例

$h (x) = (5 x^{- 2} - 10 x + 7) {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 5 x^{- 2} - 10 x + 7$ 且 $g (x) = {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2}$ 。

$(5 x^{- 2} - 10 x + 7) \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 4 x + 5)}^{2}] + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{3} - 4 x + 5$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3} - 4 x + 5$ 。

$(5 x^{- 2} - 10 x + 7) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x + 5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(5 x^{- 2} - 10 x + 7) (2 u \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x + 5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

解题步骤 2.3

使用 $x^{3} - 4 x + 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(5 x^{- 2} - 10 x + 7) (2 (x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x + 5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $2$ 移到 $5 x^{- 2} - 10 x + 7$ 的左侧。

$2 \cdot (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x + 5] + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $x^{3} - 4 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

解题步骤 3.4

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

解题步骤 3.6

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} [5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

解题步骤 3.7

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4 + 0) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

解题步骤 3.8

将 $3 x^{2} - 4$ 和 $0$ 相加。

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

解题步骤 3.9

根据加法法则， $5 x^{- 2} - 10 x + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [5 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 3.10

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{- 2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ 。

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (5 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (5 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 3.12

将 $- 2$ 乘以 $5$ 。

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 3.13

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 x^{- 3} - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 3.14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 x^{- 3} - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 3.15

将 $- 10$ 乘以 $1$ 。

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 x^{- 3} - 10 + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 3.16

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 x^{- 3} - 10 + 0)$

解题步骤 3.17

将 $- 10 x^{- 3} - 10$ 和 $0$ 相加。

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 x^{- 3} - 10)$

解题步骤 4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$2 (5 \frac{1}{x^{2}} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 x^{- 3} - 10)$

解题步骤 5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$2 (5 \frac{1}{x^{2}} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 \frac{1}{x^{3}} - 10)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$(2 (5 \frac{1}{x^{2}}) + 2 (- 10 x) + 2 \cdot 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 \frac{1}{x^{3}} - 10)$

解题步骤 6.2

合并项。

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解题步骤 6.2.1

组合 $5$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$(2 \frac{5}{x^{2}} + 2 (- 10 x) + 2 \cdot 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 \frac{1}{x^{3}} - 10)$

解题步骤 6.2.2

组合 $2$ 和 $\frac{5}{x^{2}}$ 。

$(\frac{2 \cdot 5}{x^{2}} + 2 (- 10 x) + 2 \cdot 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 \frac{1}{x^{3}} - 10)$

解题步骤 6.2.3

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$(\frac{10}{x^{2}} + 2 (- 10 x) + 2 \cdot 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 \frac{1}{x^{3}} - 10)$

解题步骤 6.2.4

将 $- 10$ 乘以 $2$ 。

$(\frac{10}{x^{2}} - 20 x + 2 \cdot 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 \frac{1}{x^{3}} - 10)$

解题步骤 6.2.5

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$(\frac{10}{x^{2}} - 20 x + 14) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 \frac{1}{x^{3}} - 10)$

解题步骤 6.2.6

组合 $- 10$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$(\frac{10}{x^{2}} - 20 x + 14) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (\frac{- 10}{x^{3}} - 10)$

解题步骤 6.2.7

将负号移到分数的前面。

$(\frac{10}{x^{2}} - 20 x + 14) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- \frac{10}{x^{3}} - 10)$

解题步骤 6.3

重新排序项。

$(3 x^{2} - 4) (x^{3} - 4 x + 5) (\frac{10}{x^{2}} - 20 x + 14) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- \frac{10}{x^{3}} - 10)$

微积分学 示例

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