微积分学示例

$h (v) = \sqrt{5 v} + \ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}$

解题步骤 1

根据加法法则， $\sqrt{5 v} + \ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}$ 对 $v$ 的导数是 $\frac{d}{d v} [\sqrt{5 v}] + \frac{d}{d v} [\ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}]$ 。

$\frac{d}{d v} [\sqrt{5 v}] + \frac{d}{d v} [\ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d v} [\sqrt{5 v}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5 v}$ 重写成 ${(5 v)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d v} [{(5 v)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d v} [\ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}]$

解题步骤 2.2

从 $5 v$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{d}{d v} [{(5 (v))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d v} [\ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}]$

解题步骤 2.3

对 $5 (v)$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d v} [5^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d v} [\ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}]$

解题步骤 2.4

因为 $5^{\frac{1}{2}}$ 对于 $v$ 是常数，所以 $5^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}}$ 对 $v$ 的导数是 $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$ 。

$5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d v} [\ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 等于 $n v^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d v} [\ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}]$

解题步骤 2.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d v} [\ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}]$

解题步骤 2.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d v} [\ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}]$

解题步骤 2.8

在公分母上合并分子。

$5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d v} [\ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}]$

解题步骤 2.9

化简分子。

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解题步骤 2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d v} [\ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}]$

解题步骤 2.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d v} [\ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}]$

解题步骤 2.10

将负号移到分数的前面。

$5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d v} [\ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}]$

解题步骤 2.11

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $v^{- \frac{1}{2}}$ 。

$5^{\frac{1}{2}} \frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d v} [\ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}]$

解题步骤 2.12

组合 $5^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{5^{\frac{1}{2}} v^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d v} [\ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}]$

解题步骤 2.13

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $v^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d v} [\ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d v} [\ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}]$ 。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [f (v) g (v)]$ 等于 $f (v) \frac{d}{d v} [g (v)] + g (v) \frac{d}{d v} [f (v)]$ ，其中 $f (v) = \ln (v^{4})$ 且 $g (v) = e^{6 + 9 v}$ 。

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) \frac{d}{d v} [e^{6 + 9 v}] + e^{6 + 9 v} \frac{d}{d v} [\ln (v^{4})]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ 等于 $f' (g (v)) g' (v)$ ，其中 $f (v) = e^{v}$ 且 $g (v) = 6 + 9 v$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $6 + 9 v$ 。

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d v} [6 + 9 v]) + e^{6 + 9 v} \frac{d}{d v} [\ln (v^{4})]$

解题步骤 3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d v} [6 + 9 v]) + e^{6 + 9 v} \frac{d}{d v} [\ln (v^{4})]$

解题步骤 3.2.3

使用 $6 + 9 v$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (e^{6 + 9 v} \frac{d}{d v} [6 + 9 v]) + e^{6 + 9 v} \frac{d}{d v} [\ln (v^{4})]$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $6 + 9 v$ 对 $v$ 的导数是 $\frac{d}{d v} [6] + \frac{d}{d v} [9 v]$ 。

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (e^{6 + 9 v} (\frac{d}{d v} [6] + \frac{d}{d v} [9 v])) + e^{6 + 9 v} \frac{d}{d v} [\ln (v^{4})]$

解题步骤 3.4

因为 $6$ 对于 $v$ 是常数，所以 $6$ 对 $v$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (e^{6 + 9 v} (0 + \frac{d}{d v} [9 v])) + e^{6 + 9 v} \frac{d}{d v} [\ln (v^{4})]$

解题步骤 3.5

因为 $9$ 对于 $v$ 是常数，所以 $9 v$ 对 $v$ 的导数是 $9 \frac{d}{d v} [v]$ 。

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (e^{6 + 9 v} (0 + 9 \frac{d}{d v} [v])) + e^{6 + 9 v} \frac{d}{d v} [\ln (v^{4})]$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 等于 $n v^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (e^{6 + 9 v} (0 + 9 \cdot 1)) + e^{6 + 9 v} \frac{d}{d v} [\ln (v^{4})]$

解题步骤 3.7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ 等于 $f' (g (v)) g' (v)$ ，其中 $f (v) = \ln (v)$ 且 $g (v) = v^{4}$ 。

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解题步骤 3.7.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $v^{4}$ 。

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (e^{6 + 9 v} (0 + 9 \cdot 1)) + e^{6 + 9 v} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d v} [v^{4}])$

解题步骤 3.7.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (e^{6 + 9 v} (0 + 9 \cdot 1)) + e^{6 + 9 v} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d v} [v^{4}])$

解题步骤 3.7.3

使用 $v^{4}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (e^{6 + 9 v} (0 + 9 \cdot 1)) + e^{6 + 9 v} (\frac{1}{v^{4}} \frac{d}{d v} [v^{4}])$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 等于 $n v^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (e^{6 + 9 v} (0 + 9 \cdot 1)) + e^{6 + 9 v} (\frac{1}{v^{4}} (4 v^{3}))$

解题步骤 3.9

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (e^{6 + 9 v} (0 + 9)) + e^{6 + 9 v} (\frac{1}{v^{4}} (4 v^{3}))$

解题步骤 3.10

将 $0$ 和 $9$ 相加。

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (e^{6 + 9 v} \cdot 9) + e^{6 + 9 v} (\frac{1}{v^{4}} (4 v^{3}))$

解题步骤 3.11

将 $9$ 移到 $e^{6 + 9 v}$ 的左侧。

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (9 \cdot e^{6 + 9 v}) + e^{6 + 9 v} (\frac{1}{v^{4}} (4 v^{3}))$

解题步骤 3.12

组合 $4$ 和 $\frac{1}{v^{4}}$ 。

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (9 e^{6 + 9 v}) + e^{6 + 9 v} (\frac{4}{v^{4}} v^{3})$

解题步骤 3.13

组合 $\frac{4}{v^{4}}$ 和 $v^{3}$ 。

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (9 e^{6 + 9 v}) + e^{6 + 9 v} \frac{4 v^{3}}{v^{4}}$

解题步骤 3.14

约去 $v^{3}$ 和 $v^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 3.14.1

从 $4 v^{3}$ 中分解出因数 $v^{3}$ 。

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (9 e^{6 + 9 v}) + e^{6 + 9 v} \frac{v^{3} \cdot 4}{v^{4}}$

解题步骤 3.14.2

约去公因数。

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解题步骤 3.14.2.1

从 $v^{4}$ 中分解出因数 $v^{3}$ 。

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (9 e^{6 + 9 v}) + e^{6 + 9 v} \frac{v^{3} \cdot 4}{v^{3} v}$

解题步骤 3.14.2.2

约去公因数。

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (9 e^{6 + 9 v}) + e^{6 + 9 v} \frac{v^{3} \cdot 4}{v^{3} v}$

解题步骤 3.14.2.3

重写表达式。

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (9 e^{6 + 9 v}) + e^{6 + 9 v} \frac{4}{v}$

解题步骤 3.15

组合 $e^{6 + 9 v}$ 和 $\frac{4}{v}$ 。

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (9 e^{6 + 9 v}) + \frac{e^{6 + 9 v} \cdot 4}{v}$

解题步骤 3.16

将 $4$ 移到 $e^{6 + 9 v}$ 的左侧。

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (9 e^{6 + 9 v}) + \frac{4 \cdot e^{6 + 9 v}}{v}$

解题步骤 3.17

要将 $\ln (v^{4}) (9 e^{6 + 9 v})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{v}{v}$ 。

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (v^{4}) (9 e^{6 + 9 v}) v}{v} + \frac{4 e^{6 + 9 v}}{v}$

解题步骤 3.18

在公分母上合并分子。

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (v^{4}) (9 e^{6 + 9 v}) v + 4 e^{6 + 9 v}}{v}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

重新排序项。

$\frac{\ln (v^{4}) (9 e^{6 + 9 v}) v + 4 e^{6 + 9 v}}{v} + \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.2

化简分子。

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解题步骤 4.2.1

从 $\ln (v^{4}) (9 e^{6 + 9 v}) v + 4 e^{6 + 9 v}$ 中分解出因数 $e^{6 + 9 v}$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

从 $\ln (v^{4}) (9 e^{6 + 9 v}) v$ 中分解出因数 $e^{6 + 9 v}$ 。

$\frac{e^{6 + 9 v} (\ln (v^{4}) \cdot (9) v) + 4 e^{6 + 9 v}}{v} + \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.2.1.2

从 $4 e^{6 + 9 v}$ 中分解出因数 $e^{6 + 9 v}$ 。

$\frac{e^{6 + 9 v} (\ln (v^{4}) \cdot (9) v) + e^{6 + 9 v} \cdot 4}{v} + \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.2.1.3

从 $e^{6 + 9 v} (\ln (v^{4}) \cdot (9) v) + e^{6 + 9 v} \cdot 4$ 中分解出因数 $e^{6 + 9 v}$ 。

$\frac{e^{6 + 9 v} (\ln (v^{4}) \cdot (9) v + 4)}{v} + \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.2.2

将 $9$ 移到 $\ln (v^{4})$ 的左侧。

$\frac{e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4)}{v} + \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.3

要将 $\frac{e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4)}{v}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 v^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4)}{v} \cdot \frac{2 v^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.4

要将 $\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{v}{v}$ 。

$\frac{e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4)}{v} \cdot \frac{2 v^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{v}{v}$

解题步骤 4.5

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $v \cdot 2 v^{\frac{1}{2}}$ 的形式。

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解题步骤 4.5.1

将 $\frac{e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4)}{v}$ 乘以 $\frac{2 v^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4) (2 v^{\frac{1}{2}})}{v (2 v^{\frac{1}{2}})} + \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{v}{v}$

解题步骤 4.5.2

对 $v$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4) (2 v^{\frac{1}{2}})}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})} + \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{v}{v}$

解题步骤 4.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4) (2 v^{\frac{1}{2}})}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{v}{v}$

解题步骤 4.5.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4) (2 v^{\frac{1}{2}})}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{v}{v}$

解题步骤 4.5.5

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4) (2 v^{\frac{1}{2}})}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{v}{v}$

解题步骤 4.5.6

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4) (2 v^{\frac{1}{2}})}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{v}{v}$

解题步骤 4.5.7

将 $\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{v}{v}$ 。

$\frac{e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4) (2 v^{\frac{1}{2}})}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{2}} v}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

解题步骤 4.5.8

对 $v$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4) (2 v^{\frac{1}{2}})}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{2}} v}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.5.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4) (2 v^{\frac{1}{2}})}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{2}} v}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.5.10

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4) (2 v^{\frac{1}{2}})}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{2}} v}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.5.11

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4) (2 v^{\frac{1}{2}})}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{2}} v}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

解题步骤 4.5.12

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4) (2 v^{\frac{1}{2}})}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{2}} v}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.6

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4) (2 v^{\frac{1}{2}}) + 5^{\frac{1}{2}} v}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.7

化简分子。

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解题步骤 4.7.1

从 $e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4) (2 v^{\frac{1}{2}}) + 5^{\frac{1}{2}} v$ 中分解出因数 $v^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.7.1.1

将表达式重新排序。

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解题步骤 4.7.1.1.1

将 $6$ 和 $9 v$ 重新排序。

$\frac{e^{9 v + 6} (9 \ln (v^{4}) v + 4) (2 v^{\frac{1}{2}}) + 5^{\frac{1}{2}} v}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.7.1.1.2

移动 $\ln (v^{4})$ 。

$\frac{e^{9 v + 6} (9 v \ln (v^{4}) + 4) (2 v^{\frac{1}{2}}) + 5^{\frac{1}{2}} v}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.7.1.1.3

移动 $9 v \ln (v^{4}) + 4$ 。

$\frac{e^{9 v + 6} \cdot 2 v^{\frac{1}{2}} (9 v \ln (v^{4}) + 4) + 5^{\frac{1}{2}} v}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.7.1.1.4

移动 $e^{9 v + 6}$ 。

$\frac{2 v^{\frac{1}{2}} e^{9 v + 6} (9 v \ln (v^{4}) + 4) + 5^{\frac{1}{2}} v}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.7.1.2

从 $2 v^{\frac{1}{2}} e^{9 v + 6} (9 v \ln (v^{4}) + 4)$ 中分解出因数 $v^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{v^{\frac{1}{2}} (2 e^{9 v + 6} (9 v \ln (v^{4}) + 4)) + 5^{\frac{1}{2}} v}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.7.1.3

从 $5^{\frac{1}{2}} v$ 中分解出因数 $v^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{v^{\frac{1}{2}} (2 e^{9 v + 6} (9 v \ln (v^{4}) + 4)) + v^{\frac{1}{2}} (5^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}})}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.7.1.4

从 $v^{\frac{1}{2}} (2 e^{9 v + 6} (9 v \ln (v^{4}) + 4)) + v^{\frac{1}{2}} (5^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $v^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{v^{\frac{1}{2}} (2 e^{9 v + 6} (9 v \ln (v^{4}) + 4) + 5^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}})}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.7.2

运用分配律。

$\frac{v^{\frac{1}{2}} (2 e^{9 v + 6} (9 v \ln (v^{4})) + 2 e^{9 v + 6} \cdot 4 + 5^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}})}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.7.3

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$\frac{v^{\frac{1}{2}} (18 e^{9 v + 6} (v \ln (v^{4})) + 2 e^{9 v + 6} \cdot 4 + 5^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}})}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.7.4

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{v^{\frac{1}{2}} (18 e^{9 v + 6} (v \ln (v^{4})) + 8 e^{9 v + 6} + 5^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}})}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.8

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $v^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{18 e^{9 v + 6} (v \ln (v^{4})) + 8 e^{9 v + 6} + 5^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.9

化简分母。

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解题步骤 4.9.1

通过指数相加将 $v^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $v^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.9.1.1

移动 $v^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{18 e^{9 v + 6} (v \ln (v^{4})) + 8 e^{9 v + 6} + 5^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}}}{2 (v^{- \frac{1}{2}} v^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 4.9.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{18 e^{9 v + 6} (v \ln (v^{4})) + 8 e^{9 v + 6} + 5^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}}}{2 v^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.9.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{18 e^{9 v + 6} (v \ln (v^{4})) + 8 e^{9 v + 6} + 5^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{- 1 + 3}{2}}}$

解题步骤 4.9.1.4

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{18 e^{9 v + 6} (v \ln (v^{4})) + 8 e^{9 v + 6} + 5^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.9.1.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{18 e^{9 v + 6} (v \ln (v^{4})) + 8 e^{9 v + 6} + 5^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}}}{2 v^{1}}$

解题步骤 4.9.2

化简 $2 v^{1}$ 。

$\frac{18 e^{9 v + 6} (v \ln (v^{4})) + 8 e^{9 v + 6} + 5^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

解题步骤 4.10

将 $\frac{18 e^{9 v + 6} (v \ln (v^{4})) + 8 e^{9 v + 6} + 5^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}}}{2 v}$ 中的因式重新排序。

$\frac{18 v e^{9 v + 6} \ln (v^{4}) + 8 e^{9 v + 6} + 5^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

微积分学 示例

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