微积分学示例

$m (x) = 12 {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}} - 93$

解题步骤 1

根据加法法则， $12 {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}} - 93$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [12 {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 93]$ 。

$\frac{d}{d x} [12 {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 93]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [12 {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}]$ 。

$12 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 93]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 5$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 5$ 。

$12 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + \frac{d}{d x} [- 93]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$12 (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + \frac{d}{d x} [- 93]$

解题步骤 2.2.3

使用 $x^{2} + 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + \frac{d}{d x} [- 93]$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $x^{2} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])) + \frac{d}{d x} [- 93]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [5])) + \frac{d}{d x} [- 93]$

解题步骤 2.5

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2} - 1} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [- 93]$

解题步骤 2.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [- 93]$

解题步骤 2.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [- 93]$

解题步骤 2.8

在公分母上合并分子。

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [- 93]$

解题步骤 2.9

化简分子。

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解题步骤 2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{3 - 2}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [- 93]$

解题步骤 2.9.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [- 93]$

解题步骤 2.10

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 93]$

解题步骤 2.11

组合 $\frac{3}{2}$ 和 ${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$12 (\frac{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 93]$

解题步骤 2.12

组合 $2$ 和 $\frac{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$12 (\frac{2 (3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2} x) + \frac{d}{d x} [- 93]$

解题步骤 2.13

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$12 (\frac{6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} x) + \frac{d}{d x} [- 93]$

解题步骤 2.14

组合 $\frac{6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x$ 。

$12 \frac{6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} [- 93]$

解题步骤 2.15

从 $6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x$ 中分解出因数 $2$ 。

$12 \frac{2 (3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} + \frac{d}{d x} [- 93]$

解题步骤 2.16

约去公因数。

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解题步骤 2.16.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$12 \frac{2 (3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 93]$

解题步骤 2.16.2

约去公因数。

$12 \frac{2 (3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 93]$

解题步骤 2.16.3

重写表达式。

$12 \frac{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x}{1} + \frac{d}{d x} [- 93]$

解题步骤 2.16.4

用 $3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x$ 除以 $1$ 。

$12 (3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x) + \frac{d}{d x} [- 93]$

解题步骤 2.17

将 $3$ 乘以 $12$ 。

$36 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{d}{d x} [- 93]$

解题步骤 3

因为 $- 93$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 93$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$36 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x + 0$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $36 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x$ 和 $0$ 相加。

$36 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x$

解题步骤 4.2

重新排序 $36 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x$ 的因式。

$36 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$

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