微积分学示例

$m (x) = {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ 且 $g (x) = \cos (1 - x^{2})$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cos (1 - x^{2})$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

解题步骤 1.3

使用 $\cos (1 - x^{2})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{3}{2} {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

解题步骤 2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2} {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

解题步骤 3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2} {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{3}{2} {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

解题步骤 5

化简分子。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{2} {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

解题步骤 5.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{3}{2} {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

解题步骤 6

组合 $\frac{3}{2}$ 和 ${\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

解题步骤 7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 1 - x^{2}$ 。

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解题步骤 7.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $1 - x^{2}$ 。

$\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

解题步骤 7.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

解题步骤 7.3

使用 $1 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \sin (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

解题步骤 8

求微分。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 和 $\sin (1 - x^{2})$ 。

$- \frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 8.2

根据加法法则， $1 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$- \frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 8.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 8.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$- \frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 8.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- \frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 8.6

乘。

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解题步骤 8.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 8.6.2

将 $\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 8.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} (2 x)$

解题步骤 8.8

化简项。

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解题步骤 8.8.1

组合 $2$ 和 $\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2}$ 。

$\frac{2 (3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}))}{2} x$

解题步骤 8.8.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 ({\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}))}{2} x$

解题步骤 8.8.3

组合 $\frac{6 ({\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}))}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{6 ({\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})) x}{2}$

解题步骤 8.8.4

从 $6 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x)}{2}$

解题步骤 9

约去公因数。

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解题步骤 9.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x)}{2 (1)}$

解题步骤 9.2

约去公因数。

$\frac{2 (3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x)}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.3

重写表达式。

$\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x}{1}$

解题步骤 9.4

用 $3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x$ 除以 $1$ 。

$3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x$

解题步骤 10

重新排序 $3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x$ 的因式。

$3 x {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})$

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