微积分学示例

$m (t) = - 5 t {(6 t^{5} - 1)}^{3}$

解题步骤 1

因为 $- 5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 5 t {(6 t^{5} - 1)}^{3}$ 对 $t$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d t} [t {(6 t^{5} - 1)}^{3}]$ 。

$- 5 \frac{d}{d t} [t {(6 t^{5} - 1)}^{3}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t$ 且 $g (t) = {(6 t^{5} - 1)}^{3}$ 。

$- 5 (t \frac{d}{d t} [{(6 t^{5} - 1)}^{3}] + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{3}$ 且 $g (t) = 6 t^{5} - 1$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $6 t^{5} - 1$ 。

$- 5 (t (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [6 t^{5} - 1]) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 5 (t (3 u^{2} \frac{d}{d t} [6 t^{5} - 1]) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.3

使用 $6 t^{5} - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 5 (t (3 {(6 t^{5} - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [6 t^{5} - 1]) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $6 t^{5} - 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [6 t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ 。

$- 5 (t (3 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (\frac{d}{d t} [6 t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 4.2

因为 $6$ 对于 $t$ 是常数，所以 $6 t^{5}$ 对 $t$ 的导数是 $6 \frac{d}{d t} [t^{5}]$ 。

$- 5 (t (3 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (6 \frac{d}{d t} [t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$- 5 (t (3 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (6 (5 t^{4}) + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 4.4

将 $5$ 乘以 $6$ 。

$- 5 (t (3 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (30 t^{4} + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 4.5

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$- 5 (t (3 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (30 t^{4} + 0)) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 4.6

化简表达式。

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解题步骤 4.6.1

将 $30 t^{4}$ 和 $0$ 相加。

$- 5 (t (3 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (30 t^{4})) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 4.6.2

将 $30$ 乘以 $3$ 。

$- 5 (t (90 {(6 t^{5} - 1)}^{2} t^{4}) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 5

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 5 (t^{4} t^{1} (90 {(6 t^{5} - 1)}^{2}) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 5 (t^{4 + 1} (90 {(6 t^{5} - 1)}^{2}) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 7

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$- 5 (t^{5} (90 {(6 t^{5} - 1)}^{2}) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 5 (t^{5} (90 {(6 t^{5} - 1)}^{2}) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \cdot 1)$

解题步骤 9

将 ${(6 t^{5} - 1)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$- 5 (t^{5} (90 {(6 t^{5} - 1)}^{2}) + {(6 t^{5} - 1)}^{3})$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$- 5 (t^{5} (90 {(6 t^{5} - 1)}^{2})) - 5 {(6 t^{5} - 1)}^{3}$

解题步骤 10.2

将 $90$ 乘以 $- 5$ 。

$- 450 (t^{5} ({(6 t^{5} - 1)}^{2})) - 5 {(6 t^{5} - 1)}^{3}$

解题步骤 10.3

从 $- 450 t^{5} {(6 t^{5} - 1)}^{2} - 5 {(6 t^{5} - 1)}^{3}$ 中分解出因数 $5 {(6 t^{5} - 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 10.3.1

从 $- 450 t^{5} {(6 t^{5} - 1)}^{2}$ 中分解出因数 $5 {(6 t^{5} - 1)}^{2}$ 。

$5 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (- 90 t^{5}) - 5 {(6 t^{5} - 1)}^{3}$

解题步骤 10.3.2

从 $- 5 {(6 t^{5} - 1)}^{3}$ 中分解出因数 $5 {(6 t^{5} - 1)}^{2}$ 。

$5 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (- 90 t^{5}) + 5 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (- (6 t^{5} - 1))$

解题步骤 10.3.3

从 $5 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (- 90 t^{5}) + 5 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (- (6 t^{5} - 1))$ 中分解出因数 $5 {(6 t^{5} - 1)}^{2}$ 。

$5 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

解题步骤 10.4

将 ${(6 t^{5} - 1)}^{2}$ 重写为 $(6 t^{5} - 1) (6 t^{5} - 1)$ 。

$5 ((6 t^{5} - 1) (6 t^{5} - 1)) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

解题步骤 10.5

使用 FOIL 方法展开 $(6 t^{5} - 1) (6 t^{5} - 1)$ 。

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解题步骤 10.5.1

运用分配律。

$5 (6 t^{5} (6 t^{5} - 1) - 1 (6 t^{5} - 1)) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

解题步骤 10.5.2

运用分配律。

$5 (6 t^{5} (6 t^{5}) + 6 t^{5} \cdot - 1 - 1 (6 t^{5} - 1)) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

解题步骤 10.5.3

运用分配律。

$5 (6 t^{5} (6 t^{5}) + 6 t^{5} \cdot - 1 - 1 (6 t^{5}) - 1 \cdot - 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

解题步骤 10.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 10.6.1

化简每一项。

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解题步骤 10.6.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$5 (6 \cdot 6 t^{5} t^{5} + 6 t^{5} \cdot - 1 - 1 (6 t^{5}) - 1 \cdot - 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

解题步骤 10.6.1.2

通过指数相加将 $t^{5}$ 乘以 $t^{5}$ 。

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解题步骤 10.6.1.2.1

移动 $t^{5}$ 。

$5 (6 \cdot 6 (t^{5} t^{5}) + 6 t^{5} \cdot - 1 - 1 (6 t^{5}) - 1 \cdot - 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

解题步骤 10.6.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 (6 \cdot 6 t^{5 + 5} + 6 t^{5} \cdot - 1 - 1 (6 t^{5}) - 1 \cdot - 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

解题步骤 10.6.1.2.3

将 $5$ 和 $5$ 相加。

$5 (6 \cdot 6 t^{10} + 6 t^{5} \cdot - 1 - 1 (6 t^{5}) - 1 \cdot - 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

解题步骤 10.6.1.3

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$5 (36 t^{10} + 6 t^{5} \cdot - 1 - 1 (6 t^{5}) - 1 \cdot - 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

解题步骤 10.6.1.4

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$5 (36 t^{10} - 6 t^{5} - 1 (6 t^{5}) - 1 \cdot - 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

解题步骤 10.6.1.5

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$5 (36 t^{10} - 6 t^{5} - 6 t^{5} - 1 \cdot - 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

解题步骤 10.6.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$5 (36 t^{10} - 6 t^{5} - 6 t^{5} + 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

解题步骤 10.6.2

从 $- 6 t^{5}$ 中减去 $6 t^{5}$ 。

$5 (36 t^{10} - 12 t^{5} + 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

解题步骤 10.7

运用分配律。

$(5 (36 t^{10}) + 5 (- 12 t^{5}) + 5 \cdot 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

解题步骤 10.8

化简。

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解题步骤 10.8.1

将 $36$ 乘以 $5$ 。

$(180 t^{10} + 5 (- 12 t^{5}) + 5 \cdot 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

解题步骤 10.8.2

将 $- 12$ 乘以 $5$ 。

$(180 t^{10} - 60 t^{5} + 5 \cdot 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

解题步骤 10.8.3

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$(180 t^{10} - 60 t^{5} + 5) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

解题步骤 10.9

化简每一项。

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解题步骤 10.9.1

运用分配律。

$(180 t^{10} - 60 t^{5} + 5) (- 90 t^{5} - (6 t^{5}) - - 1)$

解题步骤 10.9.2

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$(180 t^{10} - 60 t^{5} + 5) (- 90 t^{5} - 6 t^{5} - - 1)$

解题步骤 10.9.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$(180 t^{10} - 60 t^{5} + 5) (- 90 t^{5} - 6 t^{5} + 1)$

解题步骤 10.10

从 $- 90 t^{5}$ 中减去 $6 t^{5}$ 。

$(180 t^{10} - 60 t^{5} + 5) (- 96 t^{5} + 1)$

解题步骤 10.11

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(180 t^{10} - 60 t^{5} + 5) (- 96 t^{5} + 1)$ 。

$180 t^{10} (- 96 t^{5}) + 180 t^{10} \cdot 1 - 60 t^{5} (- 96 t^{5}) - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

解题步骤 10.12

化简每一项。

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解题步骤 10.12.1

使用乘法的交换性质重写。

$180 \cdot - 96 t^{10} t^{5} + 180 t^{10} \cdot 1 - 60 t^{5} (- 96 t^{5}) - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

解题步骤 10.12.2

通过指数相加将 $t^{10}$ 乘以 $t^{5}$ 。

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解题步骤 10.12.2.1

移动 $t^{5}$ 。

$180 \cdot - 96 (t^{5} t^{10}) + 180 t^{10} \cdot 1 - 60 t^{5} (- 96 t^{5}) - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

解题步骤 10.12.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$180 \cdot - 96 t^{5 + 10} + 180 t^{10} \cdot 1 - 60 t^{5} (- 96 t^{5}) - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

解题步骤 10.12.2.3

将 $5$ 和 $10$ 相加。

$180 \cdot - 96 t^{15} + 180 t^{10} \cdot 1 - 60 t^{5} (- 96 t^{5}) - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

解题步骤 10.12.3

将 $180$ 乘以 $- 96$ 。

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} \cdot 1 - 60 t^{5} (- 96 t^{5}) - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

解题步骤 10.12.4

将 $180$ 乘以 $1$ 。

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} - 60 t^{5} (- 96 t^{5}) - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

解题步骤 10.12.5

使用乘法的交换性质重写。

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} - 60 \cdot - 96 t^{5} t^{5} - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

解题步骤 10.12.6

通过指数相加将 $t^{5}$ 乘以 $t^{5}$ 。

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解题步骤 10.12.6.1

移动 $t^{5}$ 。

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} - 60 \cdot - 96 (t^{5} t^{5}) - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

解题步骤 10.12.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} - 60 \cdot - 96 t^{5 + 5} - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

解题步骤 10.12.6.3

将 $5$ 和 $5$ 相加。

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} - 60 \cdot - 96 t^{10} - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

解题步骤 10.12.7

将 $- 60$ 乘以 $- 96$ 。

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} + 5760 t^{10} - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

解题步骤 10.12.8

将 $- 60$ 乘以 $1$ 。

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} + 5760 t^{10} - 60 t^{5} + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

解题步骤 10.12.9

将 $- 96$ 乘以 $5$ 。

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} + 5760 t^{10} - 60 t^{5} - 480 t^{5} + 5 \cdot 1$

解题步骤 10.12.10

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} + 5760 t^{10} - 60 t^{5} - 480 t^{5} + 5$

解题步骤 10.13

将 $180 t^{10}$ 和 $5760 t^{10}$ 相加。

$- 17280 t^{15} + 5940 t^{10} - 60 t^{5} - 480 t^{5} + 5$

解题步骤 10.14

从 $- 60 t^{5}$ 中减去 $480 t^{5}$ 。

$- 17280 t^{15} + 5940 t^{10} - 540 t^{5} + 5$

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