微积分学示例

$J (v) = (v^{3} - 2 v) (v^{- 4} + v^{- 2})$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [f (v) g (v)]$ 等于 $f (v) \frac{d}{d v} [g (v)] + g (v) \frac{d}{d v} [f (v)]$ ，其中 $f (v) = v^{3} - 2 v$ 且 $g (v) = v^{- 4} + v^{- 2}$ 。

$(v^{3} - 2 v) \frac{d}{d v} [v^{- 4} + v^{- 2}] + (v^{- 4} + v^{- 2}) \frac{d}{d v} [v^{3} - 2 v]$

解题步骤 2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则， $v^{- 4} + v^{- 2}$ 对 $v$ 的导数是 $\frac{d}{d v} [v^{- 4}] + \frac{d}{d v} [v^{- 2}]$ 。

$(v^{3} - 2 v) (\frac{d}{d v} [v^{- 4}] + \frac{d}{d v} [v^{- 2}]) + (v^{- 4} + v^{- 2}) \frac{d}{d v} [v^{3} - 2 v]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 等于 $n v^{n - 1}$ ，其中 $n = - 4$ 。

$(v^{3} - 2 v) (- 4 v^{- 5} + \frac{d}{d v} [v^{- 2}]) + (v^{- 4} + v^{- 2}) \frac{d}{d v} [v^{3} - 2 v]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 等于 $n v^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$(v^{3} - 2 v) (- 4 v^{- 5} - 2 v^{- 3}) + (v^{- 4} + v^{- 2}) \frac{d}{d v} [v^{3} - 2 v]$

解题步骤 2.4

根据加法法则， $v^{3} - 2 v$ 对 $v$ 的导数是 $\frac{d}{d v} [v^{3}] + \frac{d}{d v} [- 2 v]$ 。

$(v^{3} - 2 v) (- 4 v^{- 5} - 2 v^{- 3}) + (v^{- 4} + v^{- 2}) (\frac{d}{d v} [v^{3}] + \frac{d}{d v} [- 2 v])$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 等于 $n v^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$(v^{3} - 2 v) (- 4 v^{- 5} - 2 v^{- 3}) + (v^{- 4} + v^{- 2}) (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [- 2 v])$

解题步骤 2.6

因为 $- 2$ 对于 $v$ 是常数，所以 $- 2 v$ 对 $v$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d v} [v]$ 。

$(v^{3} - 2 v) (- 4 v^{- 5} - 2 v^{- 3}) + (v^{- 4} + v^{- 2}) (3 v^{2} - 2 \frac{d}{d v} [v])$

解题步骤 2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 等于 $n v^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(v^{3} - 2 v) (- 4 v^{- 5} - 2 v^{- 3}) + (v^{- 4} + v^{- 2}) (3 v^{2} - 2 \cdot 1)$

解题步骤 2.8

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$(v^{3} - 2 v) (- 4 v^{- 5} - 2 v^{- 3}) + (v^{- 4} + v^{- 2}) (3 v^{2} - 2)$

解题步骤 3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$(v^{3} - 2 v) (- 4 \frac{1}{v^{5}} - 2 v^{- 3}) + (v^{- 4} + v^{- 2}) (3 v^{2} - 2)$

解题步骤 3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$(v^{3} - 2 v) (- 4 \frac{1}{v^{5}} - 2 \frac{1}{v^{3}}) + (v^{- 4} + v^{- 2}) (3 v^{2} - 2)$

解题步骤 3.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$(v^{3} - 2 v) (- 4 \frac{1}{v^{5}} - 2 \frac{1}{v^{3}}) + (\frac{1}{v^{4}} + v^{- 2}) (3 v^{2} - 2)$

解题步骤 3.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$(v^{3} - 2 v) (- 4 \frac{1}{v^{5}} - 2 \frac{1}{v^{3}}) + (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}}) (3 v^{2} - 2)$

解题步骤 3.5

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{v^{5}}$ 。

$(v^{3} - 2 v) (\frac{- 4}{v^{5}} - 2 \frac{1}{v^{3}}) + (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}}) (3 v^{2} - 2)$

解题步骤 3.5.2

将负号移到分数的前面。

$(v^{3} - 2 v) (- \frac{4}{v^{5}} - 2 \frac{1}{v^{3}}) + (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}}) (3 v^{2} - 2)$

解题步骤 3.5.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{v^{3}}$ 。

$(v^{3} - 2 v) (- \frac{4}{v^{5}} + \frac{- 2}{v^{3}}) + (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}}) (3 v^{2} - 2)$

解题步骤 3.5.4

将负号移到分数的前面。

$(v^{3} - 2 v) (- \frac{4}{v^{5}} - \frac{2}{v^{3}}) + (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}}) (3 v^{2} - 2)$

解题步骤 3.6

重新排序项。

$(- \frac{4}{v^{5}} - \frac{2}{v^{3}}) (v^{3} - 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

解题步骤 3.7

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.1

使用 FOIL 方法展开 $(- \frac{4}{v^{5}} - \frac{2}{v^{3}}) (v^{3} - 2 v)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.1.1

运用分配律。

$- \frac{4}{v^{5}} (v^{3} - 2 v) - \frac{2}{v^{3}} (v^{3} - 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

解题步骤 3.7.1.2

运用分配律。

$- \frac{4}{v^{5}} v^{3} - \frac{4}{v^{5}} (- 2 v) - \frac{2}{v^{3}} (v^{3} - 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

解题步骤 3.7.1.3

运用分配律。

$- \frac{4}{v^{5}} v^{3} - \frac{4}{v^{5}} (- 2 v) - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

解题步骤 3.7.2

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.2.1.1

约去 $v^{3}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.2.1.1.1

将 $- \frac{4}{v^{5}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 4}{v^{5}} v^{3} - \frac{4}{v^{5}} (- 2 v) - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

解题步骤 3.7.2.1.1.2

从 $v^{5}$ 中分解出因数 $v^{3}$ 。

$\frac{- 4}{v^{3} v^{2}} v^{3} - \frac{4}{v^{5}} (- 2 v) - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

解题步骤 3.7.2.1.1.3

约去公因数。

$\frac{- 4}{v^{3} v^{2}} v^{3} - \frac{4}{v^{5}} (- 2 v) - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

解题步骤 3.7.2.1.1.4

重写表达式。

$\frac{- 4}{v^{2}} - \frac{4}{v^{5}} (- 2 v) - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

解题步骤 3.7.2.1.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{v^{2}} - \frac{4}{v^{5}} (- 2 v) - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

解题步骤 3.7.2.1.3

约去 $v$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.2.1.3.1

将 $- \frac{4}{v^{5}}$ 中前置负号移到分子中。

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{- 4}{v^{5}} (- 2 v) - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

解题步骤 3.7.2.1.3.2

从 $v^{5}$ 中分解出因数 $v$ 。

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{- 4}{v \cdot v^{4}} (- 2 v) - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

解题步骤 3.7.2.1.3.3

从 $- 2 v$ 中分解出因数 $v$ 。

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{- 4}{v \cdot v^{4}} (v \cdot - 2) - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

解题步骤 3.7.2.1.3.4

约去公因数。

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{- 4}{v \cdot v^{4}} (v \cdot - 2) - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

解题步骤 3.7.2.1.3.5

重写表达式。

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{- 4}{v^{4}} \cdot - 2 - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

解题步骤 3.7.2.1.4

组合 $\frac{- 4}{v^{4}}$ 和 $- 2$ 。

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{- 4 \cdot - 2}{v^{4}} - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

解题步骤 3.7.2.1.5

将 $- 4$ 乘以 $- 2$ 。

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{8}{v^{4}} - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

解题步骤 3.7.2.1.6

约去 $v^{3}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.2.1.6.1

将 $- \frac{2}{v^{3}}$ 中前置负号移到分子中。

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{8}{v^{4}} + \frac{- 2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

解题步骤 3.7.2.1.6.2

约去公因数。

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{8}{v^{4}} + \frac{- 2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

解题步骤 3.7.2.1.6.3

重写表达式。

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{8}{v^{4}} - 2 - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

解题步骤 3.7.2.1.7

约去 $v$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.2.1.7.1

将 $- \frac{2}{v^{3}}$ 中前置负号移到分子中。

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{- 2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

解题步骤 3.7.2.1.7.2

从 $v^{3}$ 中分解出因数 $v$ 。

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{- 2}{v \cdot v^{2}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

解题步骤 3.7.2.1.7.3

从 $- 2 v$ 中分解出因数 $v$ 。

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{- 2}{v \cdot v^{2}} (v \cdot - 2) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

解题步骤 3.7.2.1.7.4

约去公因数。

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{- 2}{v \cdot v^{2}} (v \cdot - 2) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

解题步骤 3.7.2.1.7.5

重写表达式。

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{- 2}{v^{2}} \cdot - 2 + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

解题步骤 3.7.2.1.8

组合 $\frac{- 2}{v^{2}}$ 和 $- 2$ 。

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{- 2 \cdot - 2}{v^{2}} + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

解题步骤 3.7.2.1.9

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{4}{v^{2}} + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

解题步骤 3.7.2.2

将 $- \frac{4}{v^{2}}$ 和 $\frac{4}{v^{2}}$ 相加。

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + 0 + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

解题步骤 3.7.2.3

将 $\frac{8}{v^{4}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

解题步骤 3.7.3

使用 FOIL 方法展开 $(3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.3.1

运用分配律。

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + 3 v^{2} (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}}) - 2 (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

解题步骤 3.7.3.2

运用分配律。

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + 3 v^{2} \frac{1}{v^{4}} + 3 v^{2} \frac{1}{v^{2}} - 2 (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

解题步骤 3.7.3.3

运用分配律。

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + 3 v^{2} \frac{1}{v^{4}} + 3 v^{2} \frac{1}{v^{2}} - 2 \frac{1}{v^{4}} - 2 \frac{1}{v^{2}}$

解题步骤 3.7.4

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.4.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.4.1.1

约去 $v^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.4.1.1.1

从 $3 v^{2}$ 中分解出因数 $v^{2}$ 。

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + v^{2} \cdot 3 \frac{1}{v^{4}} + 3 v^{2} \frac{1}{v^{2}} - 2 \frac{1}{v^{4}} - 2 \frac{1}{v^{2}}$

解题步骤 3.7.4.1.1.2

从 $v^{4}$ 中分解出因数 $v^{2}$ 。

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + v^{2} \cdot 3 \frac{1}{v^{2} v^{2}} + 3 v^{2} \frac{1}{v^{2}} - 2 \frac{1}{v^{4}} - 2 \frac{1}{v^{2}}$

解题步骤 3.7.4.1.1.3

约去公因数。

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + v^{2} \cdot 3 \frac{1}{v^{2} v^{2}} + 3 v^{2} \frac{1}{v^{2}} - 2 \frac{1}{v^{4}} - 2 \frac{1}{v^{2}}$

解题步骤 3.7.4.1.1.4

重写表达式。

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + 3 \frac{1}{v^{2}} + 3 v^{2} \frac{1}{v^{2}} - 2 \frac{1}{v^{4}} - 2 \frac{1}{v^{2}}$

解题步骤 3.7.4.1.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{v^{2}}$ 。

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{3}{v^{2}} + 3 v^{2} \frac{1}{v^{2}} - 2 \frac{1}{v^{4}} - 2 \frac{1}{v^{2}}$

解题步骤 3.7.4.1.3

约去 $v^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.4.1.3.1

从 $3 v^{2}$ 中分解出因数 $v^{2}$ 。

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{3}{v^{2}} + v^{2} \cdot 3 \frac{1}{v^{2}} - 2 \frac{1}{v^{4}} - 2 \frac{1}{v^{2}}$

解题步骤 3.7.4.1.3.2

约去公因数。

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{3}{v^{2}} + v^{2} \cdot 3 \frac{1}{v^{2}} - 2 \frac{1}{v^{4}} - 2 \frac{1}{v^{2}}$

解题步骤 3.7.4.1.3.3

重写表达式。

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{3}{v^{2}} + 3 - 2 \frac{1}{v^{4}} - 2 \frac{1}{v^{2}}$

解题步骤 3.7.4.1.4

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{v^{4}}$ 。

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{3}{v^{2}} + 3 + \frac{- 2}{v^{4}} - 2 \frac{1}{v^{2}}$

解题步骤 3.7.4.1.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{3}{v^{2}} + 3 - \frac{2}{v^{4}} - 2 \frac{1}{v^{2}}$

解题步骤 3.7.4.1.6

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{v^{2}}$ 。

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{3}{v^{2}} + 3 - \frac{2}{v^{4}} + \frac{- 2}{v^{2}}$

解题步骤 3.7.4.1.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{3}{v^{2}} + 3 - \frac{2}{v^{4}} - \frac{2}{v^{2}}$

解题步骤 3.7.4.2

在公分母上合并分子。

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{3 - 2}{v^{2}} + 3 - \frac{2}{v^{4}}$

解题步骤 3.7.4.3

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{1}{v^{2}} + 3 - \frac{2}{v^{4}}$

解题步骤 3.8

在公分母上合并分子。

$- 2 + 3 + \frac{8 - 2}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}}$

解题步骤 3.9

从 $8$ 中减去 $2$ 。

$- 2 + 3 + \frac{6}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}}$

解题步骤 3.10

将 $- 2$ 和 $3$ 相加。

$1 + \frac{6}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}}$

微积分学 示例

微积分学示例