微积分学示例

$h (z) = \frac{1 - 2 z}{z^{2} - z - 6}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ 等于 $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ ，其中 $f (z) = 1 - 2 z$ 且 $g (z) = z^{2} - z - 6$ 。

$\frac{(z^{2} - z - 6) \frac{d}{d z} [1 - 2 z] - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则， $1 - 2 z$ 对 $z$ 的导数是 $\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [- 2 z]$ 。

$\frac{(z^{2} - z - 6) (\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [- 2 z]) - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $1$ 对于 $z$ 是常数，所以 $1$ 对 $z$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(z^{2} - z - 6) (0 + \frac{d}{d z} [- 2 z]) - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d z} [- 2 z]$ 相加。

$\frac{(z^{2} - z - 6) \frac{d}{d z} [- 2 z] - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.4

因为 $- 2$ 对于 $z$ 是常数，所以 $- 2 z$ 对 $z$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d z} [z]$ 。

$\frac{(z^{2} - z - 6) (- 2 \frac{d}{d z} [z]) - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(z^{2} - z - 6) (- 2 \cdot 1) - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.6

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(z^{2} - z - 6) \cdot - 2 - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.6.2

将 $- 2$ 移到 $z^{2} - z - 6$ 的左侧。

$\frac{- 2 \cdot (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.7

根据加法法则， $z^{2} - z - 6$ 对 $z$ 的导数是 $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- z] + \frac{d}{d z} [- 6]$ 。

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- z] + \frac{d}{d z} [- 6])}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) (2 z + \frac{d}{d z} [- z] + \frac{d}{d z} [- 6])}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.9

因为 $- 1$ 对于 $z$ 是常数，所以 $- z$ 对 $z$ 的导数是 $- \frac{d}{d z} [z]$ 。

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) (2 z - \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 6])}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) (2 z - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [- 6])}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.11

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) (2 z - 1 + \frac{d}{d z} [- 6])}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.12

因为 $- 6$ 对于 $z$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $z$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) (2 z - 1 + 0)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.13

通过提取公因式进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.13.1

将 $2 z - 1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.13.2

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (- 1 (- 1) - 2 z) (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.13.3

从 $- 2 z$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (- 1 (- 1) - (2 z)) (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.13.4

从 $- 1 (- 1) - (2 z)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (- 1 (- 1 + 2 z)) (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.13.5

重新排序项。

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - - 1 (2 z - 1) (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 3

对 $2 z - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - - 1 ({(2 z - 1)}^{1} (2 z - 1))}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 4

对 $2 z - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - - 1 ({(2 z - 1)}^{1} {(2 z - 1)}^{1})}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - - 1 {(2 z - 1)}^{1 + 1}}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - - 1 {(2 z - 1)}^{2}}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 7

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) + 1 {(2 z - 1)}^{2}}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 8

将 ${(2 z - 1)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) + {(2 z - 1)}^{2}}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 9

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

运用分配律。

$\frac{- 2 z^{2} - 2 (- z) - 2 \cdot - 6 + {(2 z - 1)}^{2}}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 9.2

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z - 2 \cdot - 6 + {(2 z - 1)}^{2}}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + {(2 z - 1)}^{2}}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.3

将 ${(2 z - 1)}^{2}$ 重写为 $(2 z - 1) (2 z - 1)$ 。

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + (2 z - 1) (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.4

使用 FOIL 方法展开 $(2 z - 1) (2 z - 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1.4.1

运用分配律。

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 2 z (2 z - 1) - 1 (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.4.2

运用分配律。

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 2 z (2 z) + 2 z \cdot - 1 - 1 (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.4.3

运用分配律。

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 2 z (2 z) + 2 z \cdot - 1 - 1 (2 z) - 1 \cdot - 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.5

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1.5.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1.5.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 2 \cdot 2 z \cdot z + 2 z \cdot - 1 - 1 (2 z) - 1 \cdot - 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.5.1.2

通过指数相加将 $z$ 乘以 $z$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1.5.1.2.1

移动 $z$ 。

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 2 \cdot 2 (z \cdot z) + 2 z \cdot - 1 - 1 (2 z) - 1 \cdot - 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.5.1.2.2

将 $z$ 乘以 $z$ 。

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 2 \cdot 2 z^{2} + 2 z \cdot - 1 - 1 (2 z) - 1 \cdot - 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.5.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 4 z^{2} + 2 z \cdot - 1 - 1 (2 z) - 1 \cdot - 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.5.1.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 4 z^{2} - 2 z - 1 (2 z) - 1 \cdot - 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.5.1.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 4 z^{2} - 2 z - 2 z - 1 \cdot - 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.5.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 4 z^{2} - 2 z - 2 z + 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.5.2

从 $- 2 z$ 中减去 $2 z$ 。

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 4 z^{2} - 4 z + 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 9.2.2

将 $- 2 z^{2}$ 和 $4 z^{2}$ 相加。

$\frac{2 z^{2} + 2 z + 12 - 4 z + 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 9.2.3

从 $2 z$ 中减去 $4 z$ 。

$\frac{2 z^{2} - 2 z + 12 + 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 9.2.4

将 $12$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 z^{2} - 2 z + 13}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

解题步骤 9.3

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.3.1

使用 AC 法来对 $z^{2} - z - 6$ 进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.3.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $- 1$ 。

$- 3, 2$

解题步骤 9.3.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{2 z^{2} - 2 z + 13}{{((z - 3) (z + 2))}^{2}}$

解题步骤 9.3.2

对 $(z - 3) (z + 2)$ 运用乘积法则。

$\frac{2 z^{2} - 2 z + 13}{{(z - 3)}^{2} {(z + 2)}^{2}}$

微积分学 示例

微积分学示例