微积分学示例

$r (t) = \frac{1}{t} \cdot i + \ln (t) j + e^{2 t} k$

解题步骤 1

根据加法法则， $\frac{1}{t} \cdot i + \ln (t) j + e^{2 t} k$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t} \cdot i] + \frac{d}{d t} [\ln (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$ 。

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t} \cdot i] + \frac{d}{d t} [\ln (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t} \cdot i]$ 。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{t}$ 和 $i$ 。

$\frac{d}{d t} [\frac{i}{t}] + \frac{d}{d t} [\ln (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

解题步骤 2.2

因为 $i$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{i}{t}$ 对 $t$ 的导数是 $i \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ 。

$i \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}] + \frac{d}{d t} [\ln (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

解题步骤 2.3

将 $\frac{1}{t}$ 重写为 $t^{- 1}$ 。

$i \frac{d}{d t} [t^{- 1}] + \frac{d}{d t} [\ln (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$i (- t^{- 2}) + \frac{d}{d t} [\ln (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d t} [\ln (t) j]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $j$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\ln (t) j$ 对 $t$ 的导数是 $j \frac{d}{d t} [\ln (t)]$ 。

$i (- t^{- 2}) + j \frac{d}{d t} [\ln (t)] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

解题步骤 3.2

$\ln (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\frac{1}{t}$ 。

$i (- t^{- 2}) + j \frac{1}{t} + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

解题步骤 3.3

组合 $j$ 和 $\frac{1}{t}$ 。

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $k$ 对于 $t$ 是常数，所以 $e^{2 t} k$ 对 $t$ 的导数是 $k \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$ 。

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

解题步骤 4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = 2 t$ 。

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解题步骤 4.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 t$ 。

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [2 t])$

解题步骤 4.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (e^{u} \frac{d}{d t} [2 t])$

解题步骤 4.2.3

使用 $2 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t])$

解题步骤 4.3

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (e^{2 t} (2 \frac{d}{d t} [t]))$

解题步骤 4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (e^{2 t} (2 \cdot 1))$

解题步骤 4.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (e^{2 t} \cdot 2)$

解题步骤 4.6

将 $2$ 移到 $e^{2 t}$ 的左侧。

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (2 \cdot e^{2 t})$

解题步骤 4.7

将 $2$ 移到 $k$ 的左侧。

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + 2 k e^{2 t}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$i (- \frac{1}{t^{2}}) + \frac{j}{t} + 2 k e^{2 t}$

解题步骤 5.2

组合 $i$ 和 $\frac{1}{t^{2}}$ 。

$- \frac{i}{t^{2}} + \frac{j}{t} + 2 k e^{2 t}$

解题步骤 5.3

重新排序项。

$2 e^{2 t} k - \frac{i}{t^{2}} + \frac{j}{t}$

解题步骤 5.4

将 $2 e^{2 t} k - \frac{i}{t^{2}} + \frac{j}{t}$ 中的因式重新排序。

$2 k e^{2 t} - \frac{i}{t^{2}} + \frac{j}{t}$

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