微积分学示例

$G (y) = {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{3}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{3}$ 且 $g (y) = \frac{y^{2}}{2 y - 1}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{y^{2}}{2 y - 1}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2 y - 1}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 u^{2} \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2 y - 1}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{y^{2}}{2 y - 1}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2 y - 1}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 等于 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ，其中 $f (y) = y^{2}$ 且 $g (y) = 2 y - 1$ 。

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{(2 y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2}] - y^{2} \frac{d}{d y} [2 y - 1]}{{(2 y - 1)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{(2 y - 1) (2 y) - y^{2} \frac{d}{d y} [2 y - 1]}{{(2 y - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 $2$ 移到 $2 y - 1$ 的左侧。

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 \cdot (2 y - 1) y - y^{2} \frac{d}{d y} [2 y - 1]}{{(2 y - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $2 y - 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ 。

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - y^{2} (\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(2 y - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 y$ 对 $y$ 的导数是 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - y^{2} (2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(2 y - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - y^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(2 y - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - y^{2} (2 + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(2 y - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.7

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - y^{2} (2 + 0)}{{(2 y - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.8

合并分数。

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解题步骤 3.8.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - y^{2} \cdot 2}{{(2 y - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.8.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - 2 y^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.8.3

组合 $\frac{2 (2 y - 1) y - 2 y^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$ 和 $3$ 。

$\frac{(2 (2 y - 1) y - 2 y^{2}) \cdot 3}{{(2 y - 1)}^{2}} {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2}$

解题步骤 3.8.4

将 $3$ 移到 $2 (2 y - 1) y - 2 y^{2}$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot (2 (2 y - 1) y - 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

对 $\frac{y^{2}}{2 y - 1}$ 运用乘积法则。

$\frac{3 (2 (2 y - 1) y - 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\frac{3 ((2 (2 y) + 2 \cdot - 1) y - 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$\frac{3 (2 (2 y) y + 2 \cdot - 1 y - 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4

运用分配律。

$\frac{3 (2 (2 y) y) + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5

合并项。

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解题步骤 4.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 (4 y \cdot y) + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.2

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 (4 (y^{1} y)) + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.3

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 (4 (y^{1} y^{1})) + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 (4 y^{1 + 1}) + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 (4 y^{2}) + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.6

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{12 y^{2} + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{12 y^{2} + 3 (- 2 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.8

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{12 y^{2} - 6 y + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.9

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{12 y^{2} - 6 y - 6 y^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.10

从 $12 y^{2}$ 中减去 $6 y^{2}$ 。

$\frac{6 y^{2} - 6 y}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.11

将 ${(y^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.5.11.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{6 y^{2} - 6 y}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{y^{2 \cdot 2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.11.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 y^{2} - 6 y}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{y^{4}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.12

将 $\frac{6 y^{2} - 6 y}{{(2 y - 1)}^{2}}$ 乘以 $\frac{y^{4}}{{(2 y - 1)}^{2}}$ 。

$\frac{(6 y^{2} - 6 y) y^{4}}{{(2 y - 1)}^{2} {(2 y - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.13

通过指数相加将 ${(2 y - 1)}^{2}$ 乘以 ${(2 y - 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.5.13.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(6 y^{2} - 6 y) y^{4}}{{(2 y - 1)}^{2 + 2}}$

解题步骤 4.5.13.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{(6 y^{2} - 6 y) y^{4}}{{(2 y - 1)}^{4}}$

解题步骤 4.6

重新排序项。

$\frac{y^{4} (6 y^{2} - 6 y)}{{(2 y - 1)}^{4}}$

解题步骤 4.7

化简分子。

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解题步骤 4.7.1

从 $6 y^{2} - 6 y$ 中分解出因数 $6 y$ 。

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解题步骤 4.7.1.1

从 $6 y^{2}$ 中分解出因数 $6 y$ 。

$\frac{y^{4} (6 y (y) - 6 y)}{{(2 y - 1)}^{4}}$

解题步骤 4.7.1.2

从 $- 6 y$ 中分解出因数 $6 y$ 。

$\frac{y^{4} (6 y (y) + 6 y (- 1))}{{(2 y - 1)}^{4}}$

解题步骤 4.7.1.3

从 $6 y (y) + 6 y (- 1)$ 中分解出因数 $6 y$ 。

$\frac{y^{4} (6 y (y - 1))}{{(2 y - 1)}^{4}}$

$\frac{y^{4} \cdot 6 y (y - 1)}{{(2 y - 1)}^{4}}$

解题步骤 4.7.2

合并指数。

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解题步骤 4.7.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{6 (y^{4} y^{1}) (y - 1)}{{(2 y - 1)}^{4}}$

解题步骤 4.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{6 y^{4 + 1} (y - 1)}{{(2 y - 1)}^{4}}$

解题步骤 4.7.2.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$\frac{6 y^{5} (y - 1)}{{(2 y - 1)}^{4}}$

微积分学 示例

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