微积分学示例

$g (x) = x^{2} \log_{3} (\sqrt{x - 1})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x - 1}$ 重写成 ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})] + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \log_{3} (x)$ 且 $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\log_{3} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2

$\log_{3} (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1} \ln (3)}$ 。

$x^{2} (\frac{1}{u_{1} \ln (3)} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.3

使用 ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$x^{2} (\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4

组合 $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}] + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x - 1$ 。

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 5.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 8

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 9

化简分子。

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解题步骤 9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 10

将负号移到分数的前面。

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 11

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 13

将 $\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)}$ 。

$\frac{x^{2}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3))} \frac{d}{d x} [x - 1] + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{2}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [x - 1] + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 15

化简表达式。

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解题步骤 15.1

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{2}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [x - 1] + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 15.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{2}}{2 {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [x - 1] + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 16

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 16.1

约去公因数。

$\frac{x^{2}}{2 {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [x - 1] + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 16.2

重写表达式。

$\frac{x^{2}}{2 {(x - 1)}^{1} \ln (3)} \frac{d}{d x} [x - 1] + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 17

化简。

$\frac{x^{2}}{2 (x - 1) \ln (3)} \frac{d}{d x} [x - 1] + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 18

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{x^{2}}{2 (x - 1) \ln (3)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 19

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{2}}{2 (x - 1) \ln (3)} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 20

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{2}}{2 (x - 1) \ln (3)} (1 + 0) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 21

化简表达式。

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解题步骤 21.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2}}{2 (x - 1) \ln (3)} \cdot 1 + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 21.2

将 $\frac{x^{2}}{2 (x - 1) \ln (3)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2}}{2 (x - 1) \ln (3)} + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 22

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{2}}{2 (x - 1) \ln (3)} + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x)$

解题步骤 23

化简。

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解题步骤 23.1

运用分配律。

$\frac{x^{2}}{(2 x + 2 \cdot - 1) \ln (3)} + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x)$

解题步骤 23.2

运用分配律。

$\frac{x^{2}}{2 x \ln (3) + 2 \cdot - 1 \ln (3)} + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x)$

解题步骤 23.3

合并项。

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解题步骤 23.3.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2}}{2 x \ln (3) - 2 \ln (3)} + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x)$

解题步骤 23.3.2

要将 $\log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 x \ln (3) - 2 \ln (3)}{2 x \ln (3) - 2 \ln (3)}$ 。

$\frac{x^{2}}{2 x \ln (3) - 2 \ln (3)} + \frac{\log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x) (2 x \ln (3) - 2 \ln (3))}{2 x \ln (3) - 2 \ln (3)}$

解题步骤 23.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{2} + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x) (2 x \ln (3) - 2 \ln (3))}{2 x \ln (3) - 2 \ln (3)}$

解题步骤 23.4

重新排序项。

$\frac{x^{2} + 2 x (2 x \ln (3) - 2 \ln (3)) \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 x \ln (3) - 2 \ln (3)}$

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