微积分学示例

$g (x) = 18 {(\sqrt{x + 5})}^{2} - 14$

解题步骤 1

根据加法法则， $18 {(\sqrt{x + 5})}^{2} - 14$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [18 {(\sqrt{x + 5})}^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14]$ 。

$\frac{d}{d x} [18 {(\sqrt{x + 5})}^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [18 {(\sqrt{x + 5})}^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1

将 ${(\sqrt{x + 5})}^{2}$ 重写为 $x + 5$ 。

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解题步骤 2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 5}$ 重写成 ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [18 {({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14]$

解题步骤 2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [18 {(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}] + \frac{d}{d x} [- 14]$

解题步骤 2.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [18 {(x + 5)}^{\frac{2}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 14]$

解题步骤 2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.1

约去公因数。

$\frac{d}{d x} [18 {(x + 5)}^{\frac{2}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 14]$

解题步骤 2.1.4.2

重写表达式。

$\frac{d}{d x} [18 {(x + 5)}^{1}] + \frac{d}{d x} [- 14]$

解题步骤 2.1.5

化简。

$\frac{d}{d x} [18 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [- 14]$

解题步骤 2.2

因为 $18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $18 (x + 5)$ 对 $x$ 的导数是 $18 \frac{d}{d x} [x + 5]$ 。

$18 \frac{d}{d x} [x + 5] + \frac{d}{d x} [- 14]$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$18 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [- 14]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$18 (1 + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [- 14]$

解题步骤 2.5

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$18 (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 14]$

解题步骤 2.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 14]$

解题步骤 2.7

将 $18$ 乘以 $1$ 。

$18 + \frac{d}{d x} [- 14]$

解题步骤 3

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.1

因为 $- 14$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 14$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$18 + 0$

解题步骤 3.2

将 $18$ 和 $0$ 相加。

$18$

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