微积分学示例

$g (x) = \frac{\sqrt{x - 3}}{5 - x}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x - 3}$ 重写成 ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{5 - x}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 5 - x$ 。

$\frac{(5 - x) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}] - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x - 3$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x - 3$ 。

$\frac{(5 - x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{(5 - x) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.3

使用 $x - 3$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{(5 - x) (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(5 - x) (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(5 - x) (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$\frac{(5 - x) (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(5 - x) (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{(5 - x) (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 8

合并分数。

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解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{(5 - x) (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(5 - x) (\frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{(5 - x) (\frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 9

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 11

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 12

化简表达式。

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解题步骤 12.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 12.2

将 $5 - x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 13

根据加法法则， $5 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 14

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 15

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [- x]}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 16

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 17

乘。

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解题步骤 17.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 1 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 17.2

将 ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 18

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 19

将 ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 20

化简。

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解题步骤 20.1

化简分子。

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解题步骤 20.1.1

使 $u_{2} = {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。用 $u_{2}$ 代入替换所有出现的 ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 20.1.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{5 - x + 2 u_{2} \cdot u_{2}}{2 u_{2}}}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 20.1.1.2

通过指数相加将 $u_{2}$ 乘以 $u_{2}$ 。

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解题步骤 20.1.1.2.1

移动 $u_{2}$ 。

$\frac{\frac{5 - x + 2 (u_{2} \cdot u_{2})}{2 u_{2}}}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 20.1.1.2.2

将 $u_{2}$ 乘以 $u_{2}$ 。

$\frac{\frac{5 - x + 2 {u_{2}}^{2}}{2 u_{2}}}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 20.1.2

使用 ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{\frac{5 - x + 2 {({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 20.1.3

化简。

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解题步骤 20.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 20.1.3.1.1

将 ${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 20.1.3.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\frac{5 - x + 2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 20.1.3.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 20.1.3.1.1.2.1

约去公因数。

$\frac{\frac{5 - x + 2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 20.1.3.1.1.2.2

重写表达式。

$\frac{\frac{5 - x + 2 {(x - 3)}^{1}}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 20.1.3.1.2

化简。

$\frac{\frac{5 - x + 2 (x - 3)}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 20.1.3.1.3

运用分配律。

$\frac{\frac{5 - x + 2 x + 2 \cdot - 3}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 20.1.3.1.4

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{\frac{5 - x + 2 x - 6}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 20.1.3.2

从 $5$ 中减去 $6$ 。

$\frac{\frac{- x + 2 x - 1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 20.1.3.3

将 $- x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{\frac{x - 1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 20.2

合并项。

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解题步骤 20.2.1

将 $\frac{\frac{x - 1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 - x)}^{2}}$ 重写为乘积形式。

$\frac{x - 1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(5 - x)}^{2}}$

解题步骤 20.2.2

将 $\frac{x - 1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{{(5 - x)}^{2}}$ 。

$\frac{x - 1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(5 - x)}^{2}}$

微积分学 示例

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