微积分学示例

$g (x) = \frac{\ln (x - 1)}{x - 2}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \ln (x - 1)$ 且 $g (x) = x - 2$ 。

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)] - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 1$ 。

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 1]) - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{(x - 2) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1]) - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{(x - 2) (\frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} (1 + 0) - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.4

化简表达式。

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解题步骤 3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} \cdot 1 - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

将 $x - 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.5

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} - \ln (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} - \ln (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.7

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} - \ln (x - 1) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.8

化简表达式。

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解题步骤 3.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} - \ln (x - 1) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.8.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} - \ln (x - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

将 $x - 2$ 乘以 $\frac{1}{x - 1}$ 。

$\frac{\frac{x - 2}{x - 1} - \ln (x - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2

要将 $- \ln (x - 1)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$\frac{\frac{x - 2}{x - 1} - \ln (x - 1) \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3

组合 $- \ln (x - 1)$ 和 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$\frac{\frac{x - 2}{x - 1} + \frac{- \ln (x - 1) (x - 1)}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{x - 2 - \ln (x - 1) (x - 1)}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.1.5

化简分子。

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解题步骤 4.1.5.1

运用分配律。

$\frac{\frac{x - 2 - \ln (x - 1) x - \ln (x - 1) \cdot - 1}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.1.5.2

乘以 $- \ln (x - 1) \cdot - 1$ 。

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解题步骤 4.1.5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{x - 2 - \ln (x - 1) x + 1 \ln (x - 1)}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.1.5.2.2

将 $\ln (x - 1)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{x - 2 - \ln (x - 1) x + \ln (x - 1)}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.1.6

将 $\frac{x - 2 - \ln (x - 1) x + \ln (x - 1)}{x - 1}$ 中的因式重新排序。

$\frac{\frac{x - 2 - x \ln (x - 1) + \ln (x - 1)}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

将 $\frac{\frac{x - 2 - x \ln (x - 1) + \ln (x - 1)}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$ 重写为乘积形式。

$\frac{x - 2 - x \ln (x - 1) + \ln (x - 1)}{x - 1} \cdot \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

将 $\frac{x - 2 - x \ln (x - 1) + \ln (x - 1)}{x - 1}$ 乘以 $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ 。

$\frac{x - 2 - x \ln (x - 1) + \ln (x - 1)}{(x - 1) {(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.3

重新排序项。

$\frac{- x \ln (x - 1) + x - 2 + \ln (x - 1)}{{(x - 2)}^{2} (x - 1)}$

微积分学 示例

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