微积分学示例

$g (x) = \frac{6 x - 7}{7 x + 2} \cdot x^{3}$

解题步骤 1

组合 $\frac{6 x - 7}{7 x + 2}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{(6 x - 7) x^{3}}{7 x + 2}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = (6 x - 7) x^{3}$ 且 $g (x) = 7 x + 2$ 。

$\frac{(7 x + 2) \frac{d}{d x} [(6 x - 7) x^{3}] - (6 x - 7) x^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 6 x - 7$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

$\frac{(7 x + 2) ((6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}] + x^{3} \frac{d}{d x} [6 x - 7]) - (6 x - 7) x^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{(7 x + 2) ((6 x - 7) (3 x^{2}) + x^{3} \frac{d}{d x} [6 x - 7]) - (6 x - 7) x^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 $3$ 移到 $6 x - 7$ 的左侧。

$\frac{(7 x + 2) (3 \cdot (6 x - 7) x^{2} + x^{3} \frac{d}{d x} [6 x - 7]) - (6 x - 7) x^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.3

根据加法法则， $6 x - 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + x^{3} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7])) - (6 x - 7) x^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.4

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + x^{3} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])) - (6 x - 7) x^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + x^{3} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])) - (6 x - 7) x^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.6

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + x^{3} (6 + \frac{d}{d x} [- 7])) - (6 x - 7) x^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.7

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + x^{3} (6 + 0)) - (6 x - 7) x^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.8

化简表达式。

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解题步骤 4.8.1

将 $6$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + x^{3} \cdot 6) - (6 x - 7) x^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.8.2

将 $6$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + 6 \cdot x^{3}) - (6 x - 7) x^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.9

根据加法法则， $7 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + 6 x^{3}) - (6 x - 7) x^{3} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.10

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + 6 x^{3}) - (6 x - 7) x^{3} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + 6 x^{3}) - (6 x - 7) x^{3} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.12

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + 6 x^{3}) - (6 x - 7) x^{3} (7 + \frac{d}{d x} [2])}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.13

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + 6 x^{3}) - (6 x - 7) x^{3} (7 + 0)}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.14

化简表达式。

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解题步骤 4.14.1

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + 6 x^{3}) - (6 x - 7) x^{3} \cdot 7}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.14.2

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + 6 x^{3}) - 7 (6 x - 7) x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{(7 x + 2) ((3 (6 x) + 3 \cdot - 7) x^{2} + 6 x^{3}) - 7 (6 x - 7) x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x) x^{2} + 3 \cdot - 7 x^{2} + 6 x^{3}) - 7 (6 x - 7) x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x) x^{2} + 3 \cdot - 7 x^{2} + 6 x^{3}) + (- 7 (6 x) - 7 \cdot - 7) x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.4

运用分配律。

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x) x^{2} + 3 \cdot - 7 x^{2} + 6 x^{3}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.5

化简分子。

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解题步骤 5.5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.1.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.1.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.5.1.1.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 (x^{2} x)) + 3 \cdot - 7 x^{2} + 6 x^{3}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.5.1.1.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 (x^{2} x^{1})) + 3 \cdot - 7 x^{2} + 6 x^{3}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.5.1.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x^{2 + 1}) + 3 \cdot - 7 x^{2} + 6 x^{3}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.5.1.1.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x^{3}) + 3 \cdot - 7 x^{2} + 6 x^{3}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.5.1.1.2

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$\frac{(7 x + 2) (18 x^{3} + 3 \cdot - 7 x^{2} + 6 x^{3}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.5.1.1.3

将 $3$ 乘以 $- 7$ 。

$\frac{(7 x + 2) (18 x^{3} - 21 x^{2} + 6 x^{3}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.5.1.2

将 $18 x^{3}$ 和 $6 x^{3}$ 相加。

$\frac{(7 x + 2) (24 x^{3} - 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.5.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(7 x + 2) (24 x^{3} - 21 x^{2})$ 。

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解题步骤 5.5.1.3.1

运用分配律。

$\frac{7 x (24 x^{3} - 21 x^{2}) + 2 (24 x^{3} - 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.5.1.3.2

运用分配律。

$\frac{7 x (24 x^{3}) + 7 x (- 21 x^{2}) + 2 (24 x^{3} - 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.5.1.3.3

运用分配律。

$\frac{7 x (24 x^{3}) + 7 x (- 21 x^{2}) + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.5.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.5.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.1.4.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{7 \cdot 24 x \cdot x^{3} + 7 x (- 21 x^{2}) + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.5.1.4.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 5.5.1.4.1.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$\frac{7 \cdot 24 (x^{3} x) + 7 x (- 21 x^{2}) + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.5.1.4.1.2.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1.4.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{7 \cdot 24 (x^{3} x^{1}) + 7 x (- 21 x^{2}) + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.5.1.4.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{7 \cdot 24 x^{3 + 1} + 7 x (- 21 x^{2}) + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.5.1.4.1.2.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{7 \cdot 24 x^{4} + 7 x (- 21 x^{2}) + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.5.1.4.1.3

将 $7$ 乘以 $24$ 。

$\frac{168 x^{4} + 7 x (- 21 x^{2}) + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.5.1.4.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{168 x^{4} + 7 \cdot - 21 x \cdot x^{2} + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.5.1.4.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.5.1.4.1.5.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{168 x^{4} + 7 \cdot - 21 (x^{2} x) + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.5.1.4.1.5.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1.4.1.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{168 x^{4} + 7 \cdot - 21 (x^{2} x^{1}) + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.5.1.4.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{168 x^{4} + 7 \cdot - 21 x^{2 + 1} + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.5.1.4.1.5.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{168 x^{4} + 7 \cdot - 21 x^{3} + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.5.1.4.1.6

将 $7$ 乘以 $- 21$ 。

$\frac{168 x^{4} - 147 x^{3} + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.5.1.4.1.7

将 $24$ 乘以 $2$ 。

$\frac{168 x^{4} - 147 x^{3} + 48 x^{3} + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.5.1.4.1.8

将 $- 21$ 乘以 $2$ 。

$\frac{168 x^{4} - 147 x^{3} + 48 x^{3} - 42 x^{2} - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.5.1.4.2

将 $- 147 x^{3}$ 和 $48 x^{3}$ 相加。

$\frac{168 x^{4} - 99 x^{3} - 42 x^{2} - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.5.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 5.5.1.5.1

移动 $x^{3}$ 。

$\frac{168 x^{4} - 99 x^{3} - 42 x^{2} - 7 (6 (x^{3} x)) - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.5.1.5.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{168 x^{4} - 99 x^{3} - 42 x^{2} - 7 (6 (x^{3} x^{1})) - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.5.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{168 x^{4} - 99 x^{3} - 42 x^{2} - 7 (6 x^{3 + 1}) - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.5.1.5.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{168 x^{4} - 99 x^{3} - 42 x^{2} - 7 (6 x^{4}) - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.5.1.6

将 $6$ 乘以 $- 7$ 。

$\frac{168 x^{4} - 99 x^{3} - 42 x^{2} - 42 x^{4} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.5.1.7

将 $- 7$ 乘以 $- 7$ 。

$\frac{168 x^{4} - 99 x^{3} - 42 x^{2} - 42 x^{4} + 49 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.5.2

从 $168 x^{4}$ 中减去 $42 x^{4}$ 。

$\frac{126 x^{4} - 99 x^{3} - 42 x^{2} + 49 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.5.3

将 $- 99 x^{3}$ 和 $49 x^{3}$ 相加。

$\frac{126 x^{4} - 50 x^{3} - 42 x^{2}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.6

从 $126 x^{4} - 50 x^{3} - 42 x^{2}$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

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解题步骤 5.6.1

从 $126 x^{4}$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

$\frac{2 x^{2} (63 x^{2}) - 50 x^{3} - 42 x^{2}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.6.2

从 $- 50 x^{3}$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

$\frac{2 x^{2} (63 x^{2}) + 2 x^{2} (- 25 x) - 42 x^{2}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.6.3

从 $- 42 x^{2}$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

$\frac{2 x^{2} (63 x^{2}) + 2 x^{2} (- 25 x) + 2 x^{2} (- 21)}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.6.4

从 $2 x^{2} (63 x^{2}) + 2 x^{2} (- 25 x)$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

$\frac{2 x^{2} (63 x^{2} - 25 x) + 2 x^{2} (- 21)}{{(7 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.6.5

从 $2 x^{2} (63 x^{2} - 25 x) + 2 x^{2} (- 21)$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

$\frac{2 x^{2} (63 x^{2} - 25 x - 21)}{{(7 x + 2)}^{2}}$

微积分学 示例

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