微积分学示例

$g (x) = \frac{\sin (x)}{x^{3} - 2 x}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = x^{3} - 2 x$ 。

$\frac{(x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$

解题步骤 2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{(x^{3} - 2 x) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x^{3} - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$\frac{(x^{3} - 2 x) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{(x^{3} - 2 x) \cos (x) - \sin (x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x])}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(x^{3} - 2 x) \cos (x) - \sin (x) (3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x^{3} - 2 x) \cos (x) - \sin (x) (3 x^{2} - 2 \cdot 1)}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$

解题步骤 3.5

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x^{3} - 2 x) \cos (x) - \sin (x) (3 x^{2} - 2)}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{x^{3} \cos (x) - 2 x \cos (x) - \sin (x) (3 x^{2} - 2)}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\frac{x^{3} \cos (x) - 2 x \cos (x) - \sin (x) (3 x^{2}) - \sin (x) \cdot - 2}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$

解题步骤 4.3

化简分子。

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解题步骤 4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{3} \cos (x) - 2 x \cos (x) - 3 \sin (x) x^{2} - \sin (x) \cdot - 2}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{3} \cos (x) - 2 x \cos (x) - 3 \sin (x) x^{2} + 2 \sin (x)}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2

将 $x^{3} \cos (x) - 2 x \cos (x) - 3 \sin (x) x^{2} + 2 \sin (x)$ 中的因式重新排序。

$\frac{x^{3} \cos (x) - 2 x \cos (x) - 3 x^{2} \sin (x) + 2 \sin (x)}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$

微积分学 示例

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