微积分学示例

$g (t) = \frac{1 + t + t^{2}}{t - t^{3}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = 1 + t + t^{2}$ 且 $g (t) = t - t^{3}$ 。

$\frac{(t - t^{3}) \frac{d}{d t} [1 + t + t^{2}] - (1 + t + t^{2}) \frac{d}{d t} [t - t^{3}]}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $1 + t + t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$\frac{(t - t^{3}) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [t^{2}]) - (1 + t + t^{2}) \frac{d}{d t} [t - t^{3}]}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(t - t^{3}) (0 + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [t^{2}]) - (1 + t + t^{2}) \frac{d}{d t} [t - t^{3}]}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d t} [t]$ 相加。

$\frac{(t - t^{3}) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [t^{2}]) - (1 + t + t^{2}) \frac{d}{d t} [t - t^{3}]}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(t - t^{3}) (1 + \frac{d}{d t} [t^{2}]) - (1 + t + t^{2}) \frac{d}{d t} [t - t^{3}]}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(t - t^{3}) (1 + 2 t) - (1 + t + t^{2}) \frac{d}{d t} [t - t^{3}]}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.6

根据加法法则， $t - t^{3}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]$ 。

$\frac{(t - t^{3}) (1 + 2 t) - (1 + t + t^{2}) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}])}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(t - t^{3}) (1 + 2 t) - (1 + t + t^{2}) (1 + \frac{d}{d t} [- t^{3}])}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.8

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t^{3}$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t^{3}]$ 。

$\frac{(t - t^{3}) (1 + 2 t) - (1 + t + t^{2}) (1 - \frac{d}{d t} [t^{3}])}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{(t - t^{3}) (1 + 2 t) - (1 + t + t^{2}) (1 - (3 t^{2}))}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.10

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(t - t^{3}) (1 + 2 t) - (1 + t + t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{(t - t^{3}) (1 + 2 t) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2

化简分子。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(t - t^{3}) (1 + 2 t)$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

运用分配律。

$\frac{t (1 + 2 t) - t^{3} (1 + 2 t) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.1.2

运用分配律。

$\frac{t \cdot 1 + t (2 t) - t^{3} (1 + 2 t) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.1.3

运用分配律。

$\frac{t \cdot 1 + t (2 t) - t^{3} \cdot 1 - t^{3} (2 t) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.2.1

将 $t$ 乘以 $1$ 。

$\frac{t + t (2 t) - t^{3} \cdot 1 - t^{3} (2 t) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{t + 2 t \cdot t - t^{3} \cdot 1 - t^{3} (2 t) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.3

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.2.1.2.3.1

移动 $t$ 。

$\frac{t + 2 (t \cdot t) - t^{3} \cdot 1 - t^{3} (2 t) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.3.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} \cdot 1 - t^{3} (2 t) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - t^{3} (2 t) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.5

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 1 \cdot 2 t^{3} t + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.6

通过指数相加将 $t^{3}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.2.1.2.6.1

移动 $t$ 。

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 1 \cdot 2 (t \cdot t^{3}) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.6.2

将 $t$ 乘以 $t^{3}$ 。

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解题步骤 3.2.1.2.6.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 1 \cdot 2 (t^{1} t^{3}) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 1 \cdot 2 t^{1 + 3} + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.6.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 1 \cdot 2 t^{4} + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.7

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} + (- 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.4

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})$ 。

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 \cdot 1 - 1 (- 3 t^{2}) - t \cdot 1 - t (- 3 t^{2}) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 - 1 (- 3 t^{2}) - t \cdot 1 - t (- 3 t^{2}) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5.2

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t \cdot 1 - t (- 3 t^{2}) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t - t (- 3 t^{2}) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t - 1 \cdot - 3 t \cdot t^{2} - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5.5

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.5.5.1

移动 $t^{2}$ 。

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t - 1 \cdot - 3 (t^{2} t) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5.5.2

将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.2.1.5.5.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t - 1 \cdot - 3 (t^{2} t^{1}) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t - 1 \cdot - 3 t^{2 + 1} - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5.5.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t - 1 \cdot - 3 t^{3} - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5.6

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t + 3 t^{3} - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t + 3 t^{3} - t^{2} - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5.8

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t + 3 t^{3} - t^{2} - 1 \cdot - 3 t^{2} t^{2}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5.9

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.5.9.1

移动 $t^{2}$ 。

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t + 3 t^{3} - t^{2} - 1 \cdot - 3 (t^{2} t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5.9.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t + 3 t^{3} - t^{2} - 1 \cdot - 3 t^{2 + 2}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5.9.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t + 3 t^{3} - t^{2} - 1 \cdot - 3 t^{4}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5.10

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t + 3 t^{3} - t^{2} + 3 t^{4}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.6

从 $3 t^{2}$ 中减去 $t^{2}$ 。

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 2 t^{2} - t + 3 t^{3} + 3 t^{4}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

合并 $t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 2 t^{2} - t + 3 t^{3} + 3 t^{4}$ 中相反的项。

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解题步骤 3.2.2.1

从 $t$ 中减去 $t$ 。

$\frac{2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 2 t^{2} + 0 + 3 t^{3} + 3 t^{4}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2.2.2

将 $2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 2 t^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 2 t^{2} + 3 t^{3} + 3 t^{4}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

将 $2 t^{2}$ 和 $2 t^{2}$ 相加。

$\frac{- t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 4 t^{2} + 3 t^{3} + 3 t^{4}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2.4

将 $- t^{3}$ 和 $3 t^{3}$ 相加。

$\frac{2 t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 4 t^{2} + 3 t^{4}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2.5

将 $- 2 t^{4}$ 和 $3 t^{4}$ 相加。

$\frac{2 t^{3} + t^{4} - 1 + 4 t^{2}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.3

重新排序项。

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(- t^{3} + t)}^{2}}$

解题步骤 3.4

化简分母。

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解题步骤 3.4.1

从 $- t^{3} + t$ 中分解出因数 $t$ 。

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解题步骤 3.4.1.1

从 $- t^{3}$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t (- t^{2}) + t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.2

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t (- t^{2}) + t^{1})}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.3

从 $t^{1}$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t (- t^{2}) + t \cdot 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.4

从 $t (- t^{2}) + t \cdot 1$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t (- t^{2} + 1))}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t (- t^{2} + 1^{2}))}^{2}}$

解题步骤 3.4.3

将 $- t^{2}$ 和 $1^{2}$ 重新排序。

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t (1^{2} - t^{2}))}^{2}}$

解题步骤 3.4.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = t$ 。

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t (1 + t) (1 - t))}^{2}}$

解题步骤 3.4.5

对 $t (1 + t) (1 - t)$ 运用乘积法则。

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t (1 + t))}^{2} {(1 - t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6

运用分配律。

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t \cdot 1 + t \cdot t)}^{2} {(1 - t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.7

将 $t$ 乘以 $1$ 。

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t + t \cdot t)}^{2} {(1 - t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.8

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t + t^{2})}^{2} {(1 - t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.9

将 ${(t + t^{2})}^{2}$ 重写为 $(t + t^{2}) (t + t^{2})$ 。

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t + t^{2}) (t + t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.10

使用 FOIL 方法展开 $(t + t^{2}) (t + t^{2})$ 。

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解题步骤 3.4.10.1

运用分配律。

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t (t + t^{2}) + t^{2} (t + t^{2})) {(1 - t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.10.2

运用分配律。

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t \cdot t + t \cdot t^{2} + t^{2} (t + t^{2})) {(1 - t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.10.3

运用分配律。

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t \cdot t + t \cdot t^{2} + t^{2} t + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.11

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.4.11.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.11.1.1

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + t \cdot t^{2} + t^{2} t + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.11.1.2

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.11.1.2.1

将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.11.1.2.1.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + t^{1} t^{2} + t^{2} t + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.11.1.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + t^{1 + 2} + t^{2} t + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.11.1.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + t^{3} + t^{2} t + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.11.1.3

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.4.11.1.3.1

将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.4.11.1.3.1.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + t^{3} + t^{2} t^{1} + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.11.1.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + t^{3} + t^{2 + 1} + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.11.1.3.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + t^{3} + t^{3} + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.11.1.4

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.11.1.4.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + t^{3} + t^{3} + t^{2 + 2}) {(1 - t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.11.1.4.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + t^{3} + t^{3} + t^{4}) {(1 - t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.11.2

将 $t^{3}$ 和 $t^{3}$ 相加。

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + 2 t^{3} + t^{4}) {(1 - t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.12

从 $t^{2} + 2 t^{3} + t^{4}$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.12.1

乘以 $1$ 。

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} \cdot 1 + 2 t^{3} + t^{4}) {(1 - t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.12.2

从 $2 t^{3}$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} \cdot 1 + t^{2} (2 t) + t^{4}) {(1 - t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.12.3

从 $t^{4}$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} \cdot 1 + t^{2} (2 t) + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.12.4

从 $t^{2} \cdot 1 + t^{2} (2 t)$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} \cdot (1 + 2 t) + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.12.5

从 $t^{2} \cdot (1 + 2 t) + t^{2} t^{2}$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{t^{2} (1 + 2 t + t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.13

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 3.4.13.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{t^{2} (1^{2} + 2 t + t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.13.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 t = 2 \cdot 1 \cdot t$

解题步骤 3.4.13.3

重写多项式。

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{t^{2} (1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot t + t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

解题步骤 3.4.13.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = t$ 。

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{t^{2} {(1 + t)}^{2} {(1 - t)}^{2}}$

微积分学 示例

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