微积分学示例

$g (t) = {(4 t + 3 t)}^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{3}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

将 $4 t$ 和 $3 t$ 相加。

$\frac{d}{d t} [{(7 t)}^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{3}]$

解题步骤 1.2

化简表达式。

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解题步骤 1.2.1

对 $7 t$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d t} [7^{2} t^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{3}]$

解题步骤 1.2.2

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{d}{d t} [49 t^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{3}]$

解题步骤 1.3

因为 $49$ 对于 $t$ 是常数，所以 $49 t^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{3}$ 对 $t$ 的导数是 $49 \frac{d}{d t} [t^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{3}]$ 。

$49 \frac{d}{d t} [t^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{3}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t^{2}$ 且 $g (t) = {(3 t^{2} - 9)}^{3}$ 。

$49 (t^{2} \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} - 9)}^{3}] + {(3 t^{2} - 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{3}$ 且 $g (t) = 3 t^{2} - 9$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 t^{2} - 9$ 。

$49 (t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [3 t^{2} - 9]) + {(3 t^{2} - 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$49 (t^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d t} [3 t^{2} - 9]) + {(3 t^{2} - 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

解题步骤 3.3

使用 $3 t^{2} - 9$ 替换所有出现的 $u$ 。

$49 (t^{2} (3 {(3 t^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d t} [3 t^{2} - 9]) + {(3 t^{2} - 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $3 t^{2} - 9$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9]$ 。

$49 (t^{2} (3 {(3 t^{2} - 9)}^{2} (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9])) + {(3 t^{2} - 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

解题步骤 4.2

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$49 (t^{2} (3 {(3 t^{2} - 9)}^{2} (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9])) + {(3 t^{2} - 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$49 (t^{2} (3 {(3 t^{2} - 9)}^{2} (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 9])) + {(3 t^{2} - 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

解题步骤 4.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$49 (t^{2} (3 {(3 t^{2} - 9)}^{2} (6 t + \frac{d}{d t} [- 9])) + {(3 t^{2} - 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

解题步骤 4.5

因为 $- 9$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$49 (t^{2} (3 {(3 t^{2} - 9)}^{2} (6 t + 0)) + {(3 t^{2} - 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

解题步骤 4.6

化简表达式。

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解题步骤 4.6.1

将 $6 t$ 和 $0$ 相加。

$49 (t^{2} (3 {(3 t^{2} - 9)}^{2} (6 t)) + {(3 t^{2} - 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

解题步骤 4.6.2

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$49 (t^{2} (18 {(3 t^{2} - 9)}^{2} t) + {(3 t^{2} - 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

解题步骤 5

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 5.1

移动 $t$ 。

$49 (t \cdot t^{2} (18 {(3 t^{2} - 9)}^{2}) + {(3 t^{2} - 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

解题步骤 5.2

将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$49 (t^{1} t^{2} (18 {(3 t^{2} - 9)}^{2}) + {(3 t^{2} - 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

解题步骤 5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$49 (t^{1 + 2} (18 {(3 t^{2} - 9)}^{2}) + {(3 t^{2} - 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

解题步骤 5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$49 (t^{3} (18 {(3 t^{2} - 9)}^{2}) + {(3 t^{2} - 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$49 (t^{3} (18 {(3 t^{2} - 9)}^{2}) + {(3 t^{2} - 9)}^{3} (2 t))$

解题步骤 7

将 $2$ 移到 ${(3 t^{2} - 9)}^{3}$ 的左侧。

$49 (t^{3} (18 {(3 t^{2} - 9)}^{2}) + 2 \cdot {(3 t^{2} - 9)}^{3} t)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$49 (t^{3} (18 {(3 t^{2} - 9)}^{2})) + 49 (2 {(3 t^{2} - 9)}^{3} t)$

解题步骤 8.2

将 $18$ 乘以 $49$ 。

$882 (t^{3} ({(3 t^{2} - 9)}^{2})) + 49 (2 {(3 t^{2} - 9)}^{3} t)$

解题步骤 8.3

将 $2$ 乘以 $49$ 。

$882 t^{3} {(3 t^{2} - 9)}^{2} + 98 ({(3 t^{2} - 9)}^{3} t)$

解题步骤 8.4

从 $882 t^{3} {(3 t^{2} - 9)}^{2} + 98 {(3 t^{2} - 9)}^{3} t$ 中分解出因数 $98 t {(3 t^{2} - 9)}^{2}$ 。

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解题步骤 8.4.1

从 $882 t^{3} {(3 t^{2} - 9)}^{2}$ 中分解出因数 $98 t {(3 t^{2} - 9)}^{2}$ 。

$98 t {(3 t^{2} - 9)}^{2} (9 t^{2}) + 98 {(3 t^{2} - 9)}^{3} t$

解题步骤 8.4.2

从 $98 {(3 t^{2} - 9)}^{3} t$ 中分解出因数 $98 t {(3 t^{2} - 9)}^{2}$ 。

$98 t {(3 t^{2} - 9)}^{2} (9 t^{2}) + 98 t {(3 t^{2} - 9)}^{2} (3 t^{2} - 9)$

解题步骤 8.4.3

从 $98 t {(3 t^{2} - 9)}^{2} (9 t^{2}) + 98 t {(3 t^{2} - 9)}^{2} (3 t^{2} - 9)$ 中分解出因数 $98 t {(3 t^{2} - 9)}^{2}$ 。

$98 t {(3 t^{2} - 9)}^{2} (9 t^{2} + 3 t^{2} - 9)$

解题步骤 8.5

将 $9 t^{2}$ 和 $3 t^{2}$ 相加。

$98 t {(3 t^{2} - 9)}^{2} (12 t^{2} - 9)$

解题步骤 8.6

将 ${(3 t^{2} - 9)}^{2}$ 重写为 $(3 t^{2} - 9) (3 t^{2} - 9)$ 。

$98 t ((3 t^{2} - 9) (3 t^{2} - 9)) (12 t^{2} - 9)$

解题步骤 8.7

使用 FOIL 方法展开 $(3 t^{2} - 9) (3 t^{2} - 9)$ 。

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解题步骤 8.7.1

运用分配律。

$98 t (3 t^{2} (3 t^{2} - 9) - 9 (3 t^{2} - 9)) (12 t^{2} - 9)$

解题步骤 8.7.2

运用分配律。

$98 t (3 t^{2} (3 t^{2}) + 3 t^{2} \cdot - 9 - 9 (3 t^{2} - 9)) (12 t^{2} - 9)$

解题步骤 8.7.3

运用分配律。

$98 t (3 t^{2} (3 t^{2}) + 3 t^{2} \cdot - 9 - 9 (3 t^{2}) - 9 \cdot - 9) (12 t^{2} - 9)$

解题步骤 8.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 8.8.1

化简每一项。

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解题步骤 8.8.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$98 t (3 \cdot 3 t^{2} t^{2} + 3 t^{2} \cdot - 9 - 9 (3 t^{2}) - 9 \cdot - 9) (12 t^{2} - 9)$

解题步骤 8.8.1.2

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 8.8.1.2.1

移动 $t^{2}$ 。

$98 t (3 \cdot 3 (t^{2} t^{2}) + 3 t^{2} \cdot - 9 - 9 (3 t^{2}) - 9 \cdot - 9) (12 t^{2} - 9)$

解题步骤 8.8.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$98 t (3 \cdot 3 t^{2 + 2} + 3 t^{2} \cdot - 9 - 9 (3 t^{2}) - 9 \cdot - 9) (12 t^{2} - 9)$

解题步骤 8.8.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$98 t (3 \cdot 3 t^{4} + 3 t^{2} \cdot - 9 - 9 (3 t^{2}) - 9 \cdot - 9) (12 t^{2} - 9)$

解题步骤 8.8.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$98 t (9 t^{4} + 3 t^{2} \cdot - 9 - 9 (3 t^{2}) - 9 \cdot - 9) (12 t^{2} - 9)$

解题步骤 8.8.1.4

将 $- 9$ 乘以 $3$ 。

$98 t (9 t^{4} - 27 t^{2} - 9 (3 t^{2}) - 9 \cdot - 9) (12 t^{2} - 9)$

解题步骤 8.8.1.5

将 $3$ 乘以 $- 9$ 。

$98 t (9 t^{4} - 27 t^{2} - 27 t^{2} - 9 \cdot - 9) (12 t^{2} - 9)$

解题步骤 8.8.1.6

将 $- 9$ 乘以 $- 9$ 。

$98 t (9 t^{4} - 27 t^{2} - 27 t^{2} + 81) (12 t^{2} - 9)$

解题步骤 8.8.2

从 $- 27 t^{2}$ 中减去 $27 t^{2}$ 。

$98 t (9 t^{4} - 54 t^{2} + 81) (12 t^{2} - 9)$

解题步骤 8.9

运用分配律。

$(98 t (9 t^{4}) + 98 t (- 54 t^{2}) + 98 t \cdot 81) (12 t^{2} - 9)$

解题步骤 8.10

化简。

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解题步骤 8.10.1

使用乘法的交换性质重写。

$(98 \cdot 9 t \cdot t^{4} + 98 t (- 54 t^{2}) + 98 t \cdot 81) (12 t^{2} - 9)$

解题步骤 8.10.2

使用乘法的交换性质重写。

$(98 \cdot 9 t \cdot t^{4} + 98 \cdot - 54 t \cdot t^{2} + 98 t \cdot 81) (12 t^{2} - 9)$

解题步骤 8.10.3

将 $81$ 乘以 $98$ 。

$(98 \cdot 9 t \cdot t^{4} + 98 \cdot - 54 t \cdot t^{2} + 7938 t) (12 t^{2} - 9)$

解题步骤 8.11

化简每一项。

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解题步骤 8.11.1

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{4}$ 。

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解题步骤 8.11.1.1

移动 $t^{4}$ 。

$(98 \cdot 9 (t^{4} t) + 98 \cdot - 54 t \cdot t^{2} + 7938 t) (12 t^{2} - 9)$

解题步骤 8.11.1.2

将 $t^{4}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 8.11.1.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$(98 \cdot 9 (t^{4} t^{1}) + 98 \cdot - 54 t \cdot t^{2} + 7938 t) (12 t^{2} - 9)$

解题步骤 8.11.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(98 \cdot 9 t^{4 + 1} + 98 \cdot - 54 t \cdot t^{2} + 7938 t) (12 t^{2} - 9)$

解题步骤 8.11.1.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$(98 \cdot 9 t^{5} + 98 \cdot - 54 t \cdot t^{2} + 7938 t) (12 t^{2} - 9)$

解题步骤 8.11.2

将 $98$ 乘以 $9$ 。

$(882 t^{5} + 98 \cdot - 54 t \cdot t^{2} + 7938 t) (12 t^{2} - 9)$

解题步骤 8.11.3

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 8.11.3.1

移动 $t^{2}$ 。

$(882 t^{5} + 98 \cdot - 54 (t^{2} t) + 7938 t) (12 t^{2} - 9)$

解题步骤 8.11.3.2

将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 8.11.3.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$(882 t^{5} + 98 \cdot - 54 (t^{2} t^{1}) + 7938 t) (12 t^{2} - 9)$

解题步骤 8.11.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(882 t^{5} + 98 \cdot - 54 t^{2 + 1} + 7938 t) (12 t^{2} - 9)$

解题步骤 8.11.3.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$(882 t^{5} + 98 \cdot - 54 t^{3} + 7938 t) (12 t^{2} - 9)$

解题步骤 8.11.4

将 $98$ 乘以 $- 54$ 。

$(882 t^{5} - 5292 t^{3} + 7938 t) (12 t^{2} - 9)$

解题步骤 8.12

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(882 t^{5} - 5292 t^{3} + 7938 t) (12 t^{2} - 9)$ 。

$882 t^{5} (12 t^{2}) + 882 t^{5} \cdot - 9 - 5292 t^{3} (12 t^{2}) - 5292 t^{3} \cdot - 9 + 7938 t (12 t^{2}) + 7938 t \cdot - 9$

解题步骤 8.13

化简每一项。

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解题步骤 8.13.1

使用乘法的交换性质重写。

$882 \cdot 12 t^{5} t^{2} + 882 t^{5} \cdot - 9 - 5292 t^{3} (12 t^{2}) - 5292 t^{3} \cdot - 9 + 7938 t (12 t^{2}) + 7938 t \cdot - 9$

解题步骤 8.13.2

通过指数相加将 $t^{5}$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 8.13.2.1

移动 $t^{2}$ 。

$882 \cdot 12 (t^{2} t^{5}) + 882 t^{5} \cdot - 9 - 5292 t^{3} (12 t^{2}) - 5292 t^{3} \cdot - 9 + 7938 t (12 t^{2}) + 7938 t \cdot - 9$

解题步骤 8.13.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$882 \cdot 12 t^{2 + 5} + 882 t^{5} \cdot - 9 - 5292 t^{3} (12 t^{2}) - 5292 t^{3} \cdot - 9 + 7938 t (12 t^{2}) + 7938 t \cdot - 9$

解题步骤 8.13.2.3

将 $2$ 和 $5$ 相加。

$882 \cdot 12 t^{7} + 882 t^{5} \cdot - 9 - 5292 t^{3} (12 t^{2}) - 5292 t^{3} \cdot - 9 + 7938 t (12 t^{2}) + 7938 t \cdot - 9$

解题步骤 8.13.3

将 $882$ 乘以 $12$ 。

$10584 t^{7} + 882 t^{5} \cdot - 9 - 5292 t^{3} (12 t^{2}) - 5292 t^{3} \cdot - 9 + 7938 t (12 t^{2}) + 7938 t \cdot - 9$

解题步骤 8.13.4

将 $- 9$ 乘以 $882$ 。

$10584 t^{7} - 7938 t^{5} - 5292 t^{3} (12 t^{2}) - 5292 t^{3} \cdot - 9 + 7938 t (12 t^{2}) + 7938 t \cdot - 9$

解题步骤 8.13.5

使用乘法的交换性质重写。

$10584 t^{7} - 7938 t^{5} - 5292 \cdot 12 t^{3} t^{2} - 5292 t^{3} \cdot - 9 + 7938 t (12 t^{2}) + 7938 t \cdot - 9$

解题步骤 8.13.6

通过指数相加将 $t^{3}$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 8.13.6.1

移动 $t^{2}$ 。

$10584 t^{7} - 7938 t^{5} - 5292 \cdot 12 (t^{2} t^{3}) - 5292 t^{3} \cdot - 9 + 7938 t (12 t^{2}) + 7938 t \cdot - 9$

解题步骤 8.13.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$10584 t^{7} - 7938 t^{5} - 5292 \cdot 12 t^{2 + 3} - 5292 t^{3} \cdot - 9 + 7938 t (12 t^{2}) + 7938 t \cdot - 9$

解题步骤 8.13.6.3

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$10584 t^{7} - 7938 t^{5} - 5292 \cdot 12 t^{5} - 5292 t^{3} \cdot - 9 + 7938 t (12 t^{2}) + 7938 t \cdot - 9$

解题步骤 8.13.7

将 $- 5292$ 乘以 $12$ 。

$10584 t^{7} - 7938 t^{5} - 63504 t^{5} - 5292 t^{3} \cdot - 9 + 7938 t (12 t^{2}) + 7938 t \cdot - 9$

解题步骤 8.13.8

将 $- 9$ 乘以 $- 5292$ 。

$10584 t^{7} - 7938 t^{5} - 63504 t^{5} + 47628 t^{3} + 7938 t (12 t^{2}) + 7938 t \cdot - 9$

解题步骤 8.13.9

使用乘法的交换性质重写。

$10584 t^{7} - 7938 t^{5} - 63504 t^{5} + 47628 t^{3} + 7938 \cdot 12 t \cdot t^{2} + 7938 t \cdot - 9$

解题步骤 8.13.10

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 8.13.10.1

移动 $t^{2}$ 。

$10584 t^{7} - 7938 t^{5} - 63504 t^{5} + 47628 t^{3} + 7938 \cdot 12 (t^{2} t) + 7938 t \cdot - 9$

解题步骤 8.13.10.2

将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 8.13.10.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$10584 t^{7} - 7938 t^{5} - 63504 t^{5} + 47628 t^{3} + 7938 \cdot 12 (t^{2} t^{1}) + 7938 t \cdot - 9$

解题步骤 8.13.10.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$10584 t^{7} - 7938 t^{5} - 63504 t^{5} + 47628 t^{3} + 7938 \cdot 12 t^{2 + 1} + 7938 t \cdot - 9$

解题步骤 8.13.10.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$10584 t^{7} - 7938 t^{5} - 63504 t^{5} + 47628 t^{3} + 7938 \cdot 12 t^{3} + 7938 t \cdot - 9$

解题步骤 8.13.11

将 $7938$ 乘以 $12$ 。

$10584 t^{7} - 7938 t^{5} - 63504 t^{5} + 47628 t^{3} + 95256 t^{3} + 7938 t \cdot - 9$

解题步骤 8.13.12

将 $- 9$ 乘以 $7938$ 。

$10584 t^{7} - 7938 t^{5} - 63504 t^{5} + 47628 t^{3} + 95256 t^{3} - 71442 t$

解题步骤 8.14

从 $- 7938 t^{5}$ 中减去 $63504 t^{5}$ 。

$10584 t^{7} - 71442 t^{5} + 47628 t^{3} + 95256 t^{3} - 71442 t$

解题步骤 8.15

将 $47628 t^{3}$ 和 $95256 t^{3}$ 相加。

$10584 t^{7} - 71442 t^{5} + 142884 t^{3} - 71442 t$

微积分学 示例

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