微积分学示例

$g (t) = \frac{t^{2} \cot (t)}{5}$

解题步骤 1

因为 $\frac{1}{5}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{t^{2} \cot (t)}{5}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{1}{5} \frac{d}{d t} [t^{2} \cot (t)]$ 。

$\frac{1}{5} \frac{d}{d t} [t^{2} \cot (t)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t^{2}$ 且 $g (t) = \cot (t)$ 。

$\frac{1}{5} (t^{2} \frac{d}{d t} [\cot (t)] + \cot (t) \frac{d}{d t} [t^{2}])$

解题步骤 3

$\cot (t)$ 对 $t$ 的导数为 $- \csc^{2} (t)$ 。

$\frac{1}{5} (t^{2} (- \csc^{2} (t)) + \cot (t) \frac{d}{d t} [t^{2}])$

解题步骤 4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{5} (t^{2} (- \csc^{2} (t)) + \cot (t) (2 t))$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{1}{5} (t^{2} (- \csc^{2} (t))) + \frac{1}{5} (\cot (t) (2 t))$

解题步骤 5.2

合并项。

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解题步骤 5.2.1

组合 $t^{2}$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$\frac{t^{2}}{5} (- \csc^{2} (t)) + \frac{1}{5} (\cot (t) (2 t))$

解题步骤 5.2.2

组合 $\frac{t^{2}}{5}$ 和 $\csc^{2} (t)$ 。

$- \frac{t^{2} \csc^{2} (t)}{5} + \frac{1}{5} (\cot (t) (2 t))$

解题步骤 5.2.3

组合 $\cot (t)$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$- \frac{t^{2} \csc^{2} (t)}{5} + \frac{\cot (t)}{5} (2 t)$

解题步骤 5.2.4

组合 $2$ 和 $\frac{\cot (t)}{5}$ 。

$- \frac{t^{2} \csc^{2} (t)}{5} + \frac{2 \cot (t)}{5} t$

解题步骤 5.2.5

组合 $\frac{2 \cot (t)}{5}$ 和 $t$ 。

$- \frac{t^{2} \csc^{2} (t)}{5} + \frac{2 \cot (t) t}{5}$

解题步骤 5.3

将 $- \frac{t^{2} \csc^{2} (t)}{5} + \frac{2 \cot (t) t}{5}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{t^{2} \csc^{2} (t)}{5} + \frac{2 t \cot (t)}{5}$

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