微积分学示例

$f (x) = \ln (\cot (x) - \csc (x))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \cot (x) - \csc (x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\cot (x) - \csc (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cot (x) - \csc (x)]$

解题步骤 1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cot (x) - \csc (x)]$

解题步骤 1.3

使用 $\cot (x) - \csc (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} \frac{d}{d x} [\cot (x) - \csc (x)]$

解题步骤 2

根据加法法则， $\cot (x) - \csc (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ 。

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (\frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])$

解题步骤 3

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (- \csc^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])$

解题步骤 4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \csc (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ 。

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (- \csc^{2} (x) - \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

解题步骤 5

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (- \csc^{2} (x) - (- \csc (x) \cot (x)))$

解题步骤 6

乘。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (- \csc^{2} (x) + 1 (\csc (x) \cot (x)))$

解题步骤 6.2

将 $\csc (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (- \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x))$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

重新排序 $\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (- \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x))$ 的因式。

$(- \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x)) \frac{1}{\cot (x) - \csc (x)}$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$- \csc^{2} (x) \frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} + \csc (x) \cot (x) \frac{1}{\cot (x) - \csc (x)}$

解题步骤 7.3

组合 $\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)}$ 和 $\csc^{2} (x)$ 。

$- \frac{\csc^{2} (x)}{\cot (x) - \csc (x)} + \csc (x) \cot (x) \frac{1}{\cot (x) - \csc (x)}$

解题步骤 7.4

乘以 $\csc (x) \cot (x) \frac{1}{\cot (x) - \csc (x)}$ 。

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解题步骤 7.4.1

组合 $\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)}$ 和 $\csc (x)$ 。

$- \frac{\csc^{2} (x)}{\cot (x) - \csc (x)} + \frac{\csc (x)}{\cot (x) - \csc (x)} \cot (x)$

解题步骤 7.4.2

组合 $\frac{\csc (x)}{\cot (x) - \csc (x)}$ 和 $\cot (x)$ 。

$- \frac{\csc^{2} (x)}{\cot (x) - \csc (x)} + \frac{\csc (x) \cot (x)}{\cot (x) - \csc (x)}$

解题步骤 7.5

在公分母上合并分子。

$\frac{- \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x)}{\cot (x) - \csc (x)}$

解题步骤 7.6

从 $- \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x)$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

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解题步骤 7.6.1

从 $- \csc^{2} (x)$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

$\frac{\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cot (x)}{\cot (x) - \csc (x)}$

解题步骤 7.6.2

从 $\csc (x) \cot (x)$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

$\frac{\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (\cot (x))}{\cot (x) - \csc (x)}$

解题步骤 7.6.3

从 $\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (\cot (x))$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

$\frac{\csc (x) (- \csc (x) + \cot (x))}{\cot (x) - \csc (x)}$

解题步骤 7.7

从 $- \csc (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x)) + \cot (x))}{\cot (x) - \csc (x)}$

解题步骤 7.8

从 $\cot (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x)) - 1 (- \cot (x)))}{\cot (x) - \csc (x)}$

解题步骤 7.9

从 $- (\csc (x)) - 1 (- \cot (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x) - \cot (x)))}{\cot (x) - \csc (x)}$

解题步骤 7.10

将 $- (\csc (x) - \cot (x))$ 重写为 $- 1 (\csc (x) - \cot (x))$ 。

$\frac{\csc (x) (- 1 (\csc (x) - \cot (x)))}{\cot (x) - \csc (x)}$

解题步骤 7.11

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\csc (x) (\csc (x) - \cot (x))}{\cot (x) - \csc (x)}$

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