微积分学示例

$f (x) = \ln (\cos (\sqrt[3]{x + 2}))$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x + 2}$ 重写成 ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\ln (\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}))]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})]$

解题步骤 2.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})]$

解题步骤 2.3

使用 $\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})} \frac{d}{d x} [\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})]$

解题步骤 3

将 $\frac{1}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}$ 转换成 $\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ 。

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})]$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{3}}])$

解题步骤 4.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{3}}])$

解题步骤 4.3

使用 ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{3}}])$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = x + 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $x + 2$ 。

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 2]))$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 等于 $n {u_{3}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

解题步骤 5.3

使用 $x + 2$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {(x + 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

解题步骤 6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {(x + 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

解题步骤 7

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {(x + 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

解题步骤 8

在公分母上合并分子。

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {(x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

解题步骤 9

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {(x + 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

解题步骤 9.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {(x + 2)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

解题步骤 10

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

将负号移到分数的前面。

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {(x + 2)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

解题步骤 10.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(x + 2)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{{(x + 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

解题步骤 10.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 2)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

解题步骤 10.4

组合 $\frac{1}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ 。

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

解题步骤 10.5

组合 $\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ 和 $\frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$- \frac{\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

解题步骤 11

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$- \frac{\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 13

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0)$

解题步骤 14

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

解题步骤 14.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.1

将 $\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{\frac{1}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})} \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.2

组合 $\frac{1}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}$ 和 $\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ 。

$- \frac{\frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.3

将分子乘以分母的倒数。

$- (\frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})} \cdot \frac{1}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 15.4

合并。

$- \frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 1}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 15.5

将 $\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 15.6

将 $3$ 移到 $\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ 的左侧。

$- \frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 \cdot \cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.7

分离分数。

$- (\frac{1}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})})$

解题步骤 15.8

将 $\frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}$ 转换成 $\tan ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ 。

$- (\frac{1}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} \tan ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}))$

解题步骤 15.9

组合 $\frac{1}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $\tan ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ 。

$- \frac{\tan ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$

微积分学 示例

微积分学示例