微积分学示例

$f (x) = \ln (\cos (\sqrt[3]{x}))$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x^{\frac{1}{3}}))]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \cos (x^{\frac{1}{3}})$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cos (x^{\frac{1}{3}})$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (x^{\frac{1}{3}})]$

解题步骤 2.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (x^{\frac{1}{3}})]$

解题步骤 2.3

使用 $\cos (x^{\frac{1}{3}})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{3}})} \frac{d}{d x} [\cos (x^{\frac{1}{3}})]$

解题步骤 3

将 $\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{3}})}$ 转换成 $\sec (x^{\frac{1}{3}})$ 。

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{\frac{1}{3}})]$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

解题步骤 4.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

解题步骤 4.3

使用 $x^{\frac{1}{3}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

解题步骤 5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

解题步骤 6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

解题步骤 7

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

解题步骤 8

在公分母上合并分子。

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

解题步骤 9

化简分子。

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解题步骤 9.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

解题步骤 9.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

解题步骤 10

将负号移到分数的前面。

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

解题步骤 11

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

解题步骤 12

组合 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 和 $\sin (x^{\frac{1}{3}})$ 。

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} \sin (x^{\frac{1}{3}})}{3})$

解题步骤 13

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \frac{\sin (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 14

组合 $\sec (x^{\frac{1}{3}})$ 和 $\frac{\sin (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$- \frac{\sec (x^{\frac{1}{3}}) \sin (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15

化简分子。

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解题步骤 15.1

将 $\sec (x^{\frac{1}{3}})$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{3}})} \sin (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.2

组合 $\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{3}})}$ 和 $\sin (x^{\frac{1}{3}})$ 。

$- \frac{\frac{\sin (x^{\frac{1}{3}})}{\cos (x^{\frac{1}{3}})}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.3

将 $\frac{\sin (x^{\frac{1}{3}})}{\cos (x^{\frac{1}{3}})}$ 转换成 $\tan (x^{\frac{1}{3}})$ 。

$- \frac{\tan (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

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