微积分学示例

$f (x) = \ln (\ln (\sec (2 x)))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \ln (\sec (2 x))$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\ln (\sec (2 x))$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (\sec (2 x))]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (\sec (2 x))]$

解题步骤 1.3

使用 $\ln (\sec (2 x))$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} \frac{d}{d x} [\ln (\sec (2 x))]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \sec (2 x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sec (2 x)$ 。

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

解题步骤 2.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

解题步骤 2.3

使用 $\sec (2 x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{1}{\sec (2 x)} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

解题步骤 3

将 $\sec (2 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{1}{\frac{1}{\cos (2 x)}} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

解题步骤 4

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (2 x)}$ 。

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (1 \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

解题步骤 5

合并分数。

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解题步骤 5.1

将 $\cos (2 x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

解题步骤 5.2

组合 $\cos (2 x)$ 和 $\frac{1}{\ln (\sec (2 x))}$ 。

$\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

解题步骤 6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 6.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 6.2

$\sec (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的导数为 $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ 。

$\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 6.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 7

求微分。

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解题步骤 7.1

组合 $\sec (2 x)$ 和 $\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$ 。

$\frac{\sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 7.2

组合 $\tan (2 x)$ 和 $\frac{\sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$ 。

$\frac{\tan (2 x) (\sec (2 x) \cos (2 x))}{\ln (\sec (2 x))} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 7.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7.4

组合 $2$ 和 $\frac{\tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$ 。

$\frac{2 (\tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x))}{\ln (\sec (2 x))} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} \cdot 1$

解题步骤 7.6

将 $\frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

将 $\tan (2 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{2 \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

解题步骤 8.2

组合 $2$ 和 $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ 。

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

解题步骤 8.3

将 $\sec (2 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

解题步骤 8.4

乘以 $\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$ 。

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解题步骤 8.4.1

将 $\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ 乘以 $\frac{1}{\cos (2 x)}$ 。

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

解题步骤 8.4.2

对 $\cos (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos^{1} (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

解题步骤 8.4.3

对 $\cos (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

解题步骤 8.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{{\cos (2 x)}^{1 + 1}} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

解题步骤 8.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

解题步骤 8.5

约去 $\cos (2 x)$ 的公因数。

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解题步骤 8.5.1

从 $\cos^{2} (2 x)$ 中分解出因数 $\cos (2 x)$ 。

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

解题步骤 8.5.2

约去公因数。

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

解题步骤 8.5.3

重写表达式。

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\ln (\sec (2 x))}$

解题步骤 8.6

分离分数。

$\frac{\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\ln (\sec (2 x))}$

解题步骤 8.7

将 $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ 转换成 $\tan (2 x)$ 。

$\frac{\frac{2}{1} \tan (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

解题步骤 8.8

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{2 \tan (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

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