微积分学示例

$f (x) = \ln (2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x)))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))]$

解题步骤 1.3

使用 $2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} \frac{d}{d x} [2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\tan (5 x))]$ 。

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{d}{d x} [2 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\tan (5 x))])$

解题步骤 2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (2 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\tan (5 x))])$

解题步骤 3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (2 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\tan (5 x))])$

解题步骤 4

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\tan (5 x))])$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \tan (5 x)$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\tan (5 x)$ 。

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

解题步骤 5.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

解题步骤 5.3

使用 $\tan (5 x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \frac{1}{\tan (5 x)} \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

解题步骤 6

将 $\tan (5 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \frac{1}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}} \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

解题步骤 7

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ 。

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)} \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

解题步骤 8

将 $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ 转换成 $\cot (5 x)$ 。

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \cot (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

解题步骤 9

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

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解题步骤 9.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $5 x$ 。

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \cot (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x]))$

解题步骤 9.2

$\tan (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{3})$ 。

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \cot (5 x) (\sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x]))$

解题步骤 9.3

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \cot (5 x) (\sec^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

解题步骤 10

求微分。

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解题步骤 10.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \cot (5 x) \sec^{2} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 10.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \cot (5 x) \sec^{2} (5 x) (5 \cdot 1))$

解题步骤 10.3

化简表达式。

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解题步骤 10.3.1

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \cot (5 x) \sec^{2} (5 x) \cdot 5)$

解题步骤 10.3.2

将 $5$ 移到 $\cot (5 x) \sec^{2} (5 x)$ 的左侧。

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + 5 \cdot (\cot (5 x) \sec^{2} (5 x)))$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} \cdot \frac{2}{x} + \frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x))$

解题步骤 11.2

将 $\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))}$ 乘以 $\frac{2}{x}$ 。

$\frac{2}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x} + \frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x))$

解题步骤 11.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x} + 5 \frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} \cot (5 x) \sec^{2} (5 x)$

解题步骤 11.4

化简每一项。

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解题步骤 11.4.1

组合 $5$ 和 $\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))}$ 。

$\frac{2}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x} + \frac{5}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} \cot (5 x) \sec^{2} (5 x)$

解题步骤 11.4.2

组合 $\frac{5}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))}$ 和 $\cot (5 x)$ 。

$\frac{2}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x} + \frac{5 \cot (5 x)}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} \sec^{2} (5 x)$

解题步骤 11.4.3

组合 $\frac{5 \cot (5 x)}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))}$ 和 $\sec^{2} (5 x)$ 。

$\frac{2}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x} + \frac{5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x)}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))}$

解题步骤 11.5

要将 $\frac{5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x)}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{2}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x} + \frac{5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x)}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} \cdot \frac{x}{x}$

解题步骤 11.6

将 $\frac{5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x)}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{2}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x} + \frac{5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x) x}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x}$

解题步骤 11.7

在公分母上合并分子。

$\frac{2 + 5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x) x}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x}$

解题步骤 11.8

将 $\frac{2 + 5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x) x}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x}$ 中的因式重新排序。

$\frac{2 + 5 x \cot (5 x) \sec^{2} (5 x)}{x (2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x)))}$

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