微积分学示例

$f (x) = \ln (x^{4} (\cos (x) + \sin (x)))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{4} (\cos (x) + \sin (x))$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{4} (\cos (x) + \sin (x))$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} (\cos (x) + \sin (x))]$

解题步骤 1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} (\cos (x) + \sin (x))]$

解题步骤 1.3

使用 $x^{4} (\cos (x) + \sin (x))$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} \frac{d}{d x} [x^{4} (\cos (x) + \sin (x))]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = \cos (x) + \sin (x)$ 。

$\frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} (x^{4} \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)] + (\cos (x) + \sin (x)) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 3

根据加法法则， $\cos (x) + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$\frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} (x^{4} (\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + (\cos (x) + \sin (x)) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} (x^{4} (- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + (\cos (x) + \sin (x)) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 5

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} (x^{4} (- \sin (x) + \cos (x)) + (\cos (x) + \sin (x)) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 6

使用幂法则求微分。

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解题步骤 6.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} (x^{4} (- \sin (x) + \cos (x)) + (\cos (x) + \sin (x)) (4 x^{3}))$

解题步骤 6.2

将 $4$ 移到 $\cos (x) + \sin (x)$ 的左侧。

$\frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} (x^{4} (- \sin (x) + \cos (x)) + 4 \cdot (\cos (x) + \sin (x)) x^{3})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\frac{1}{x^{4} \cos (x) + x^{4} \sin (x)} (x^{4} (- \sin (x) + \cos (x)) + 4 (\cos (x) + \sin (x)) x^{3})$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$\frac{1}{x^{4} \cos (x) + x^{4} \sin (x)} (x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + 4 (\cos (x) + \sin (x)) x^{3})$

解题步骤 7.3

运用分配律。

$\frac{1}{x^{4} \cos (x) + x^{4} \sin (x)} (x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + (4 \cos (x) + 4 \sin (x)) x^{3})$

解题步骤 7.4

运用分配律。

$\frac{1}{x^{4} \cos (x) + x^{4} \sin (x)} (x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + 4 \cos (x) x^{3} + 4 \sin (x) x^{3})$

解题步骤 7.5

重新排序 $\frac{1}{x^{4} \cos (x) + x^{4} \sin (x)} (x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + 4 \cos (x) x^{3} + 4 \sin (x) x^{3})$ 的因式。

$(x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + 4 \cos (x) x^{3} + 4 \sin (x) x^{3}) \frac{1}{x^{4} \cos (x) + x^{4} \sin (x)}$

解题步骤 7.6

从 $x^{4} \cos (x) + x^{4} \sin (x)$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

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解题步骤 7.6.1

从 $x^{4} \cos (x)$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$(x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + 4 \cos (x) x^{3} + 4 \sin (x) x^{3}) \frac{1}{x^{4} (\cos (x)) + x^{4} \sin (x)}$

解题步骤 7.6.2

从 $x^{4} \sin (x)$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$(x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + 4 \cos (x) x^{3} + 4 \sin (x) x^{3}) \frac{1}{x^{4} (\cos (x)) + x^{4} (\sin (x))}$

解题步骤 7.6.3

从 $x^{4} (\cos (x)) + x^{4} (\sin (x))$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$(x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + 4 \cos (x) x^{3} + 4 \sin (x) x^{3}) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

解题步骤 7.7

使用乘法的交换性质重写。

$(- x^{4} \sin (x) + x^{4} \cos (x) + 4 \cos (x) x^{3} + 4 \sin (x) x^{3}) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

解题步骤 7.8

运用分配律。

$- x^{4} \sin (x) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + x^{4} \cos (x) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \cos (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

解题步骤 7.9

化简。

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解题步骤 7.9.1

约去 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 7.9.1.1

从 $- x^{4} \sin (x)$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$x^{4} (- \sin (x)) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + x^{4} \cos (x) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \cos (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

解题步骤 7.9.1.2

约去公因数。

解题步骤 7.9.1.3

重写表达式。

$- \sin (x) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} + x^{4} \cos (x) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \cos (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

解题步骤 7.9.2

组合 $\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}$ 和 $\sin (x)$ 。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + x^{4} \cos (x) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \cos (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

解题步骤 7.9.3

约去 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 7.9.3.1

从 $x^{4} \cos (x)$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + x^{4} (\cos (x)) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \cos (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

解题步骤 7.9.3.2

约去公因数。

解题步骤 7.9.3.3

重写表达式。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} + 4 \cos (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

解题步骤 7.9.4

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}$ 。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + 4 \cos (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

解题步骤 7.9.5

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 7.9.5.1

从 $4 \cos (x) x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + x^{3} (4 \cos (x)) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

解题步骤 7.9.5.2

从 $x^{4} (\cos (x) + \sin (x))$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + x^{3} (4 \cos (x)) \frac{1}{x^{3} (x (\cos (x) + \sin (x)))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

解题步骤 7.9.5.3

约去公因数。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + x^{3} (4 \cos (x)) \frac{1}{x^{3} (x (\cos (x) + \sin (x)))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

解题步骤 7.9.5.4

重写表达式。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + 4 \cos (x) \frac{1}{x (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

解题步骤 7.9.6

组合 $\frac{1}{x (\cos (x) + \sin (x))}$ 和 $4$ 。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4}{x (\cos (x) + \sin (x))} \cos (x) + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

解题步骤 7.9.7

组合 $\frac{4}{x (\cos (x) + \sin (x))}$ 和 $\cos (x)$ 。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

解题步骤 7.9.8

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 7.9.8.1

从 $4 \sin (x) x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + x^{3} (4 \sin (x)) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

解题步骤 7.9.8.2

从 $x^{4} (\cos (x) + \sin (x))$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + x^{3} (4 \sin (x)) \frac{1}{x^{3} (x (\cos (x) + \sin (x)))}$

解题步骤 7.9.8.3

约去公因数。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + x^{3} (4 \sin (x)) \frac{1}{x^{3} (x (\cos (x) + \sin (x)))}$

解题步骤 7.9.8.4

重写表达式。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) \frac{1}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

解题步骤 7.9.9

组合 $\frac{1}{x (\cos (x) + \sin (x))}$ 和 $4$ 。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4}{x (\cos (x) + \sin (x))} \sin (x)$

解题步骤 7.9.10

组合 $\frac{4}{x (\cos (x) + \sin (x))}$ 和 $\sin (x)$ 。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

解题步骤 7.10

在公分母上合并分子。

$\frac{- \sin (x) + \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

解题步骤 7.11

要将 $\frac{- \sin (x) + \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{- \sin (x) + \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

解题步骤 7.12

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(\cos (x) + \sin (x)) x$ 的形式。

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解题步骤 7.12.1

将 $\frac{- \sin (x) + \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{(- \sin (x) + \cos (x)) x}{(\cos (x) + \sin (x)) x} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

解题步骤 7.12.2

重新排序 $(\cos (x) + \sin (x)) x$ 的因式。

$\frac{(- \sin (x) + \cos (x)) x}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

解题步骤 7.13

在公分母上合并分子。

$\frac{(- \sin (x) + \cos (x)) x + 4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

解题步骤 7.14

运用分配律。

$\frac{- \sin (x) x + \cos (x) x + 4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

解题步骤 7.15

在公分母上合并分子。

$\frac{- \sin (x) x + \cos (x) x + 4 \cos (x) + 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

解题步骤 7.16

从 $- \sin (x) x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sin (x) x) + \cos (x) x + 4 \cos (x) + 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

解题步骤 7.17

从 $\cos (x) x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sin (x) x) - (- \cos (x) x) + 4 \cos (x) + 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

解题步骤 7.18

从 $- (\sin (x) x) - (- \cos (x) x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sin (x) x - \cos (x) x) + 4 \cos (x) + 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

解题步骤 7.19

从 $4 \cos (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sin (x) x - \cos (x) x) - (- 4 \cos (x)) + 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

解题步骤 7.20

从 $- (\sin (x) x - \cos (x) x) - (- 4 \cos (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x)) + 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

解题步骤 7.21

从 $4 \sin (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x)) - (- 4 \sin (x))}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

解题步骤 7.22

从 $- (\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x)) - (- 4 \sin (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x) - 4 \sin (x))}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

解题步骤 7.23

将 $- (\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x) - 4 \sin (x))$ 重写为 $- 1 (\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x) - 4 \sin (x))$ 。

$\frac{- 1 (\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x) - 4 \sin (x))}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

解题步骤 7.24

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x) - 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

解题步骤 7.25

将 $- \frac{\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x) - 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{x \sin (x) - x \cos (x) - 4 \cos (x) - 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

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