微积分学示例

$f (x) = \ln (e^{3 x}) + x \ln (e^{2}) - 10 \ln (e)$

解题步骤 1

使用对数规则把 $2$ 移到指数外部。

$\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x}) + x (2 \ln (e)) - 10 \ln (e)]$

解题步骤 2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x}) + x (2 \cdot 1) - 10 \ln (e)]$

解题步骤 3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x}) + x \cdot 2 - 10 \ln (e)]$

解题步骤 4

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x}) + x \cdot 2 - 10 \cdot 1]$

解题步骤 5

根据加法法则， $\ln (e^{3 x}) + x \cdot 2 - 10 \cdot 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x})] + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x})] + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

解题步骤 6

计算 $\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x})]$ 。

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解题步骤 6.1

使用对数规则把 $3 x$ 移到指数外部。

$\frac{d}{d x} [3 x \ln (e)] + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

解题步骤 6.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x \cdot 1] + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

解题步骤 6.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

解题步骤 6.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

解题步骤 6.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

解题步骤 6.6

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

解题步骤 7

计算 $\frac{d}{d x} [x \cdot 2]$ 。

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解题步骤 7.1

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$3 + \frac{d}{d x} [2 \cdot x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

解题步骤 7.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

解题步骤 7.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

解题步骤 7.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$3 + 2 + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

解题步骤 8

计算 $\frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$ 。

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解题步骤 8.1

将 $- 10$ 乘以 $1$ 。

$3 + 2 + \frac{d}{d x} [- 10]$

解题步骤 8.2

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 + 2 + 0$

解题步骤 9

合并项。

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解题步骤 9.1

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$5 + 0$

解题步骤 9.2

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$5$

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