微积分学示例

$f (x) = \ln (\sec^{4} (x) \cdot \tan^{2} (x))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sec^{4} (x)$ 且 $g (x) = \tan^{2} (x)$ 。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (\sec^{4} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\tan (x)$ 。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (\sec^{4} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (\sec^{4} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)])$

解题步骤 3.3

使用 $\tan (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (\sec^{4} (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)])$

解题步骤 4

将 $2$ 移到 $\sec^{4} (x)$ 的左侧。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \cdot \sec^{4} (x) \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)])$

解题步骤 5

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{4} (x) \tan (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)])$

解题步骤 6

通过指数相加将 $\sec^{4} (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 6.1

移动 $\sec^{2} (x)$ 。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 (\sec^{2} (x) \sec^{4} (x)) \tan (x) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)])$

解题步骤 6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 {\sec (x)}^{2 + 4} \tan (x) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)])$

解题步骤 6.3

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)])$

解题步骤 7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

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解题步骤 7.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $\sec (x)$ 。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

解题步骤 7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 等于 $n {u_{3}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

解题步骤 7.3

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (4 \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

解题步骤 8

将 $4$ 移到 $\tan^{2} (x)$ 的左侧。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + 4 \cdot \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

解题步骤 9

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + 4 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)))$

解题步骤 10

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + 4 (\tan^{1} (x) \tan^{2} (x)) \sec^{3} (x) \sec (x))$

解题步骤 11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + 4 {\tan (x)}^{1 + 2} \sec^{3} (x) \sec (x))$

解题步骤 12

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + 4 \tan^{3} (x) \sec^{3} (x) \sec (x))$

解题步骤 13

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + 4 \tan^{3} (x) (\sec^{1} (x) \sec^{3} (x)))$

解题步骤 14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + 4 \tan^{3} (x) {\sec (x)}^{1 + 3})$

解题步骤 15

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + 4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

运用分配律。

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x)) + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

解题步骤 16.2

合并项。

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解题步骤 16.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)}$ 。

$\frac{2}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (\sec^{6} (x) \tan (x)) + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

解题步骤 16.2.2

组合 $\sec^{6} (x)$ 和 $\frac{2}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)}$ 。

$\frac{\sec^{6} (x) \cdot 2}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} \tan (x) + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

解题步骤 16.2.3

组合 $\frac{\sec^{6} (x) \cdot 2}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)}$ 和 $\tan (x)$ 。

$\frac{\sec^{6} (x) \cdot 2 \tan (x)}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

解题步骤 16.2.4

将 $2$ 移到 $\sec^{6} (x)$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot \sec^{6} (x) \tan (x)}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

解题步骤 16.2.5

约去 $\sec^{6} (x)$ 和 $\sec^{4} (x)$ 的公因数。

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解题步骤 16.2.5.1

从 $2 \sec^{6} (x) \tan (x)$ 中分解出因数 $\sec^{4} (x)$ 。

$\frac{\sec^{4} (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

解题步骤 16.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 16.2.5.2.1

从 $\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sec^{4} (x)$ 。

$\frac{\sec^{4} (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))}{\sec^{4} (x) (\tan^{2} (x))} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

解题步骤 16.2.5.2.2

约去公因数。

$\frac{\sec^{4} (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

解题步骤 16.2.5.2.3

重写表达式。

$\frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\tan^{2} (x)} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

解题步骤 16.2.6

约去 $\tan (x)$ 和 $\tan^{2} (x)$ 的公因数。

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解题步骤 16.2.6.1

从 $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ 中分解出因数 $\tan (x)$ 。

$\frac{\tan (x) (2 \sec^{2} (x))}{\tan^{2} (x)} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

解题步骤 16.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 16.2.6.2.1

从 $\tan^{2} (x)$ 中分解出因数 $\tan (x)$ 。

$\frac{\tan (x) (2 \sec^{2} (x))}{\tan (x) \tan (x)} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

解题步骤 16.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{\tan (x) (2 \sec^{2} (x))}{\tan (x) \tan (x)} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

解题步骤 16.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

解题步骤 16.2.7

组合 $4$ 和 $\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)}$ 。

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{4}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (\tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

解题步骤 16.2.8

组合 $\tan^{3} (x)$ 和 $\frac{4}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)}$ 。

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{\tan^{3} (x) \cdot 4}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} \sec^{4} (x)$

解题步骤 16.2.9

组合 $\frac{\tan^{3} (x) \cdot 4}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)}$ 和 $\sec^{4} (x)$ 。

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{\tan^{3} (x) \cdot 4 \sec^{4} (x)}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)}$

解题步骤 16.2.10

将 $4$ 移到 $\tan^{3} (x)$ 的左侧。

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{4 \cdot \tan^{3} (x) \sec^{4} (x)}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)}$

解题步骤 16.2.11

约去 $\tan^{3} (x)$ 和 $\tan^{2} (x)$ 的公因数。

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解题步骤 16.2.11.1

从 $4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x)$ 中分解出因数 $\tan^{2} (x)$ 。

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{\tan^{2} (x) (4 \tan (x) \sec^{4} (x))}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)}$

解题步骤 16.2.11.2

约去公因数。

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解题步骤 16.2.11.2.1

从 $\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)$ 中分解出因数 $\tan^{2} (x)$ 。

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{\tan^{2} (x) (4 \tan (x) \sec^{4} (x))}{\tan^{2} (x) \sec^{4} (x)}$

解题步骤 16.2.11.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{\tan^{2} (x) (4 \tan (x) \sec^{4} (x))}{\tan^{2} (x) \sec^{4} (x)}$

解题步骤 16.2.11.2.3

重写表达式。

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{4 \tan (x) \sec^{4} (x)}{\sec^{4} (x)}$

解题步骤 16.2.12

约去 $\sec^{4} (x)$ 的公因数。

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解题步骤 16.2.12.1

约去公因数。

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{4 \tan (x) \sec^{4} (x)}{\sec^{4} (x)}$

解题步骤 16.2.12.2

用 $4 \tan (x)$ 除以 $1$ 。

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + 4 \tan (x)$

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