微积分学示例

$f (x) = \ln (\frac{\sqrt{x + 5}}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 5}$ 重写成 ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\ln (\frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}]$

解题步骤 2.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}]$

解题步骤 2.3

使用 $\frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}} \frac{d}{d x} [\frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}]$

解题步骤 3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$ 。

$1 \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}]$

解题步骤 4

将 $\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}]$

解题步骤 5

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}] - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4})}^{2}}$

解题步骤 6

将 ${({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

解题步骤 6.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

解题步骤 7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + 5$ 。

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解题步骤 7.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x + 5$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 7.3

使用 $x + 5$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 8

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 9

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 10

在公分母上合并分子。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 11

化简分子。

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解题步骤 11.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 11.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 12

合并分数。

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解题步骤 12.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 12.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} (\frac{{(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 12.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 12.4

组合 $\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 ${(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 5] - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 13

根据加法法则， $x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [5]) - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 15

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 16

化简表达式。

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解题步骤 16.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 16.2

将 $\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 17

将 $\frac{\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$ 乘以 $\frac{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}})$

解题步骤 18

合并。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}])}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 19

运用分配律。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (- {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}])}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 20

约去 $2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 20.1

约去公因数。

解题步骤 20.2

重写表达式。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} + 2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (- {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}])}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 21

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} ({(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}])}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 22

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 23

化简表达式。

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解题步骤 23.1

在公分母上合并分子。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 2 {(x + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 23.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 2 {(x + 5)}^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 24

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 24.1

约去公因数。

解题步骤 24.2

重写表达式。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 2 {(x + 5)}^{1} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 25

化简。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 2 (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}]}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 26

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = 2 x^{2} - 4 x + 1$ 。

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解题步骤 26.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $2 x^{2} - 4 x + 1$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 2 (x + 5) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 4 x + 1])}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 26.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 等于 $n {u_{3}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 2 (x + 5) (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 4 x + 1])}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 26.3

使用 $2 x^{2} - 4 x + 1$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 2 (x + 5) (4 {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 4 x + 1])}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 27

求微分。

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解题步骤 27.1

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 4 x + 1])}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 27.2

根据加法法则， $2 x^{2} - 4 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]))}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 27.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]))}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 27.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]))}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 27.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]))}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 27.6

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 27.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 27.8

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4 + \frac{d}{d x} [1]))}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 27.9

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4 + 0))}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 27.10

合并分数。

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解题步骤 27.10.1

将 $4 x - 4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4))}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 27.10.2

将 $\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4))}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4)))}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8})}$

解题步骤 28

通过指数相加将 ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 28.1

移动 ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4)))}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8})}$

解题步骤 28.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4)))}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} (2 {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8})}$

解题步骤 28.3

在公分母上合并分子。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4)))}{{(x + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}} (2 {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8})}$

解题步骤 28.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4)))}{{(x + 5)}^{\frac{2}{2}} (2 {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8})}$

解题步骤 28.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4)))}{{(x + 5)}^{1} (2 {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8})}$

解题步骤 29

化简 ${(x + 5)}^{1} (2 {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8})$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4)))}{(x + 5) (2 {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8})}$

解题步骤 30

将 $2$ 移到 $x + 5$ 的左侧。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4)))}{2 \cdot (x + 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}}$

解题步骤 31

约去公因数。

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解题步骤 31.1

从 $2 (x + 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{8}$ 中分解出因数 ${(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4)))}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} (2 (x + 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4})}$

解题步骤 31.2

约去公因数。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4)))}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} (2 (x + 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4})}$

解题步骤 31.3

重写表达式。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} - 8 (x + 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4))}{2 (x + 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

解题步骤 32

化简。

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解题步骤 32.1

运用分配律。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} + (- 8 x - 8 \cdot 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4))}{2 (x + 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

解题步骤 32.2

运用分配律。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} + (- 8 x - 8 \cdot 5) ({(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4))}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

解题步骤 32.3

化简分子。

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解题步骤 32.3.1

从 ${(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4} + (- 8 x - 8 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4)$ 中分解出因数 ${(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3}$ 。

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解题步骤 32.3.1.1

从 ${(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}$ 中分解出因数 ${(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3}$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (2 x^{2} - 4 x + 1) + (- 8 x - 8 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4)}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

解题步骤 32.3.1.2

从 $(- 8 x - 8 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (4 x - 4)$ 中分解出因数 ${(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3}$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (2 x^{2} - 4 x + 1) + {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} ((- 8 x - 8 \cdot 5) (4 x - 4))}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

解题步骤 32.3.1.3

从 ${(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (2 x^{2} - 4 x + 1) + {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} ((- 8 x - 8 \cdot 5) (4 x - 4))$ 中分解出因数 ${(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3}$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (2 x^{2} - 4 x + 1 + (- 8 x - 8 \cdot 5) (4 x - 4))}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

解题步骤 32.3.2

将 $- 8$ 乘以 $5$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (2 x^{2} - 4 x + 1 + (- 8 x - 40) (4 x - 4))}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

解题步骤 32.3.3

使用 FOIL 方法展开 $(- 8 x - 40) (4 x - 4)$ 。

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解题步骤 32.3.3.1

运用分配律。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (2 x^{2} - 4 x + 1 - 8 x (4 x - 4) - 40 (4 x - 4))}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

解题步骤 32.3.3.2

运用分配律。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (2 x^{2} - 4 x + 1 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 - 40 (4 x - 4))}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

解题步骤 32.3.3.3

运用分配律。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (2 x^{2} - 4 x + 1 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 - 40 (4 x) - 40 \cdot - 4)}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

解题步骤 32.3.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 32.3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 32.3.4.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (2 x^{2} - 4 x + 1 - 8 \cdot 4 x \cdot x - 8 x \cdot - 4 - 40 (4 x) - 40 \cdot - 4)}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

解题步骤 32.3.4.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 32.3.4.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (2 x^{2} - 4 x + 1 - 8 \cdot 4 (x \cdot x) - 8 x \cdot - 4 - 40 (4 x) - 40 \cdot - 4)}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

解题步骤 32.3.4.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (2 x^{2} - 4 x + 1 - 8 \cdot 4 x^{2} - 8 x \cdot - 4 - 40 (4 x) - 40 \cdot - 4)}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

解题步骤 32.3.4.1.3

将 $- 8$ 乘以 $4$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (2 x^{2} - 4 x + 1 - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 4 - 40 (4 x) - 40 \cdot - 4)}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

解题步骤 32.3.4.1.4

将 $- 4$ 乘以 $- 8$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (2 x^{2} - 4 x + 1 - 32 x^{2} + 32 x - 40 (4 x) - 40 \cdot - 4)}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

解题步骤 32.3.4.1.5

将 $4$ 乘以 $- 40$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (2 x^{2} - 4 x + 1 - 32 x^{2} + 32 x - 160 x - 40 \cdot - 4)}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

解题步骤 32.3.4.1.6

将 $- 40$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (2 x^{2} - 4 x + 1 - 32 x^{2} + 32 x - 160 x + 160)}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

解题步骤 32.3.4.2

从 $32 x$ 中减去 $160 x$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (2 x^{2} - 4 x + 1 - 32 x^{2} - 128 x + 160)}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

解题步骤 32.3.5

从 $2 x^{2}$ 中减去 $32 x^{2}$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (- 30 x^{2} - 4 x + 1 - 128 x + 160)}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

解题步骤 32.3.6

从 $- 4 x$ 中减去 $128 x$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (- 30 x^{2} - 132 x + 1 + 160)}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

解题步骤 32.3.7

将 $1$ 和 $160$ 相加。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (- 30 x^{2} - 132 x + 161)}{(2 x + 2 \cdot 5) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

解题步骤 32.4

合并项。

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解题步骤 32.4.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (- 30 x^{2} - 132 x + 161)}{(2 x + 10) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

解题步骤 32.4.2

约去公因数。

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解题步骤 32.4.2.1

从 $(2 x + 10) {(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}$ 中分解出因数 ${(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3}$ 。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (- 30 x^{2} - 132 x + 161)}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} ((2 x + 10) (2 x^{2} - 4 x + 1))}$

解题步骤 32.4.2.2

约去公因数。

$\frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} (- 30 x^{2} - 132 x + 161)}{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{3} ((2 x + 10) (2 x^{2} - 4 x + 1))}$

解题步骤 32.4.2.3

重写表达式。

$\frac{- 30 x^{2} - 132 x + 161}{(2 x + 10) (2 x^{2} - 4 x + 1)}$

解题步骤 32.5

从 $2 x + 10$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 32.5.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 30 x^{2} - 132 x + 161}{(2 (x) + 10) (2 x^{2} - 4 x + 1)}$

解题步骤 32.5.2

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 30 x^{2} - 132 x + 161}{(2 x + 2 \cdot 5) (2 x^{2} - 4 x + 1)}$

解题步骤 32.5.3

从 $2 x + 2 \cdot 5$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 30 x^{2} - 132 x + 161}{2 (x + 5) (2 x^{2} - 4 x + 1)}$

解题步骤 32.6

从 $- 30 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (30 x^{2}) - 132 x + 161}{2 (x + 5) (2 x^{2} - 4 x + 1)}$

解题步骤 32.7

从 $- 132 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (30 x^{2}) - (132 x) + 161}{2 (x + 5) (2 x^{2} - 4 x + 1)}$

解题步骤 32.8

从 $- (30 x^{2}) - (132 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (30 x^{2} + 132 x) + 161}{2 (x + 5) (2 x^{2} - 4 x + 1)}$

解题步骤 32.9

将 $161$ 重写为 $- 1 (- 161)$ 。

$\frac{- (30 x^{2} + 132 x) - 1 (- 161)}{2 (x + 5) (2 x^{2} - 4 x + 1)}$

解题步骤 32.10

从 $- (30 x^{2} + 132 x) - 1 (- 161)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (30 x^{2} + 132 x - 161)}{2 (x + 5) (2 x^{2} - 4 x + 1)}$

解题步骤 32.11

将 $- (30 x^{2} + 132 x - 161)$ 重写为 $- 1 (30 x^{2} + 132 x - 161)$ 。

$\frac{- 1 (30 x^{2} + 132 x - 161)}{2 (x + 5) (2 x^{2} - 4 x + 1)}$

解题步骤 32.12

将负号移到分数的前面。

$- \frac{30 x^{2} + 132 x - 161}{2 (x + 5) (2 x^{2} - 4 x + 1)}$

微积分学 示例

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