微积分学示例

$f (x) = \ln (\sqrt{(6 x - 2) (7 x + 4)})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(6 x - 2) (7 x + 4)}$ 重写成 ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\ln ({((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.3

使用 ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = (6 x - 2) (7 x + 4)$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $(6 x - 2) (7 x + 4)$ 。

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

解题步骤 3.3

使用 $(6 x - 2) (7 x + 4)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

解题步骤 8

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

解题步骤 10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

解题步骤 11

将 $\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

解题步骤 12

通过指数相加将 ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 12.1

移动 ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2 ({((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

解题步骤 12.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

解题步骤 12.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

解题步骤 12.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

解题步骤 12.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{1}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

解题步骤 13

化简 $2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{1}$ 。

$\frac{1}{2 ((6 x - 2) (7 x + 4))} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

解题步骤 14

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 6 x - 2$ 且 $g (x) = 7 x + 4$ 。

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) \frac{d}{d x} [7 x + 4] + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

解题步骤 15

求微分。

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解题步骤 15.1

根据加法法则， $7 x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

解题步骤 15.2

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

解题步骤 15.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

解题步骤 15.4

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (7 + \frac{d}{d x} [4]) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

解题步骤 15.5

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (7 + 0) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

解题步骤 15.6

化简表达式。

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解题步骤 15.6.1

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) \cdot 7 + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

解题步骤 15.6.2

将 $7$ 移到 $6 x - 2$ 的左侧。

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 \cdot (6 x - 2) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

解题步骤 15.7

根据加法法则， $6 x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

解题步骤 15.8

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

解题步骤 15.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

解题步骤 15.10

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (6 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

解题步骤 15.11

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (6 + 0))$

解题步骤 15.12

化简表达式。

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解题步骤 15.12.1

将 $6$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) \cdot 6)$

解题步骤 15.12.2

将 $6$ 移到 $7 x + 4$ 的左侧。

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + 6 \cdot (7 x + 4))$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

运用分配律。

$\frac{1}{(2 (6 x) + 2 \cdot - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + 6 (7 x + 4))$

解题步骤 16.2

运用分配律。

$\frac{1}{(2 (6 x) + 2 \cdot - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x) + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x + 4))$

解题步骤 16.3

运用分配律。

$\frac{1}{(2 (6 x) + 2 \cdot - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x) + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

解题步骤 16.4

合并项。

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解题步骤 16.4.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{(12 x + 2 \cdot - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x) + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

解题步骤 16.4.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (7 (6 x) + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

解题步骤 16.4.3

将 $6$ 乘以 $7$ 。

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (42 x + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

解题步骤 16.4.4

将 $7$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (42 x - 14 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

解题步骤 16.4.5

将 $7$ 乘以 $6$ 。

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (42 x - 14 + 42 x + 6 \cdot 4)$

解题步骤 16.4.6

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (42 x - 14 + 42 x + 24)$

解题步骤 16.4.7

将 $42 x$ 和 $42 x$ 相加。

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (84 x - 14 + 24)$

解题步骤 16.4.8

将 $- 14$ 和 $24$ 相加。

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (84 x + 10)$

解题步骤 16.5

重新排序 $\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (84 x + 10)$ 的因式。

$(84 x + 10) \frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)}$

解题步骤 16.6

从 $12 x - 4$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 16.6.1

从 $12 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$(84 x + 10) \frac{1}{(4 (3 x) - 4) (7 x + 4)}$

解题步骤 16.6.2

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$(84 x + 10) \frac{1}{(4 (3 x) + 4 (- 1)) (7 x + 4)}$

解题步骤 16.6.3

从 $4 (3 x) + 4 (- 1)$ 中分解出因数 $4$ 。

$(84 x + 10) \frac{1}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

解题步骤 16.7

将 $84 x + 10$ 乘以 $\frac{1}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$ 。

$\frac{84 x + 10}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

解题步骤 16.8

约去 $84 x + 10$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 16.8.1

从 $84 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (42 x) + 10}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

解题步骤 16.8.2

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (42 x) + 2 (5)}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

解题步骤 16.8.3

从 $2 (42 x) + 2 (5)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (42 x + 5)}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

解题步骤 16.8.4

约去公因数。

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解题步骤 16.8.4.1

从 $4 (3 x - 1) (7 x + 4)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (42 x + 5)}{2 (2 (3 x - 1) (7 x + 4))}$

解题步骤 16.8.4.2

约去公因数。

$\frac{2 (42 x + 5)}{2 (2 (3 x - 1) (7 x + 4))}$

解题步骤 16.8.4.3

重写表达式。

$\frac{42 x + 5}{2 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

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