微积分学示例

$f (x) = \ln (x^{2} \cdot (3 x) + 7)$

解题步骤 1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1

移动 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [\ln (x \cdot x^{2} \cdot 3 + 7)]$

解题步骤 1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{1} x^{2} \cdot 3 + 7)]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{1 + 2} \cdot 3 + 7)]$

解题步骤 1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{3} \cdot 3 + 7)]$

解题步骤 2

将 $3$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [\ln (3 \cdot x^{3} + 7)]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 3 x^{3} + 7$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x^{3} + 7$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 7]$

解题步骤 3.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{3 x^{3} + 7} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 7]$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $3 x^{3} + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$\frac{1}{3 x^{3} + 7} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 4.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{1}{3 x^{3} + 7} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{3 x^{3} + 7} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 4.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3 x^{3} + 7} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 4.5

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{3 x^{3} + 7} (9 x^{2} + 0)$

解题步骤 4.6

合并分数。

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解题步骤 4.6.1

将 $9 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3 x^{3} + 7} (9 x^{2})$

解题步骤 4.6.2

组合 $9$ 和 $\frac{1}{3 x^{3} + 7}$ 。

$\frac{9}{3 x^{3} + 7} x^{2}$

解题步骤 4.6.3

组合 $\frac{9}{3 x^{3} + 7}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{9 x^{2}}{3 x^{3} + 7}$

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