微积分学示例

$f (x) = \cos (\sqrt{\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}}$ 重写成 ${(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\cos ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.3

使用 ${(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [{(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = \frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$ 。

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

解题步骤 3.3

使用 $\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

解题步骤 8

合并分数。

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解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})$ 。

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

解题步骤 9

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 - \cos (2 x)$ 且 $g (x) = 1 + \cos (2 x)$ 。

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)] - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

解题步骤 10

求微分。

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解题步骤 10.1

根据加法法则， $1 - \cos (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ 。

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

解题步骤 10.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

解题步骤 10.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ 相加。

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)] - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

解题步骤 10.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 。

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) (- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

解题步骤 11

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 11.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $2 x$ 。

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) (- (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

解题步骤 11.2

$\cos (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的导数为 $- \sin (u_{3})$ 。

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) (- (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x])) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

解题步骤 11.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) (- (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

解题步骤 12

求微分。

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解题步骤 12.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) (1 (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

解题步骤 12.2

将 $\sin (2 x)$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

解题步骤 12.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

解题步骤 12.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) (2 \cdot 1) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

解题步骤 12.5

化简表达式。

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解题步骤 12.5.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) \cdot 2 - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

解题步骤 12.5.2

将 $2$ 移到 $(1 + \cos (2 x)) \sin (2 x)$ 的左侧。

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot ((1 + \cos (2 x)) \sin (2 x)) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

解题步骤 12.6

根据加法法则， $1 + \cos (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 。

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) - (1 - \cos (2 x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

解题步骤 12.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) - (1 - \cos (2 x)) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

解题步骤 12.8

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 相加。

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

解题步骤 13

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 13.1

要使用链式法则，请将 $u_{4}$ 设为 $2 x$ 。

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) - (1 - \cos (2 x)) (\frac{d}{d u_{4}} [\cos (u_{4})] \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

解题步骤 13.2

$\cos (u_{4})$ 对 $u_{4}$ 的导数为 $- \sin (u_{4})$ 。

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) - (1 - \cos (2 x)) (- \sin (u_{4}) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

解题步骤 13.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{4}$ 。

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) - (1 - \cos (2 x)) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

解题步骤 14

求微分。

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解题步骤 14.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + 1 (1 - \cos (2 x)) (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

解题步骤 14.2

将 $1 - \cos (2 x)$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + (1 - \cos (2 x)) (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

解题步骤 14.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + (1 - \cos (2 x)) \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

解题步骤 14.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

解题步骤 14.5

合并分数。

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解题步骤 14.5.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

解题步骤 14.5.2

将 $2$ 移到 $(1 - \cos (2 x)) \sin (2 x)$ 的左侧。

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + 2 \cdot ((1 - \cos (2 x)) \sin (2 x))}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

解题步骤 14.5.3

将 $\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + 2 (1 - \cos (2 x)) \sin (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$ 乘以 $\frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2}$ 。

$- \frac{(2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + 2 (1 - \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + \cos (2 x))}^{2} \cdot 2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 14.5.4

将 $2$ 移到 ${(1 + \cos (2 x))}^{2}$ 的左侧。

$- \frac{(2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + 2 (1 - \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot {(1 + \cos (2 x))}^{2}} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

$- \frac{(2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + 2 (1 - \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} {(\frac{1 + \cos (2 x)}{1 - \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 15.2

对 $\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$ 运用乘积法则。

$- \frac{(2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + 2 (1 - \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} {(\frac{1 + \cos (2 x)}{1 - \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 15.3

对 $\frac{1 + \cos (2 x)}{1 - \cos (2 x)}$ 运用乘积法则。

$- \frac{(2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + 2 (1 - \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 15.4

运用分配律。

$- \frac{((2 \cdot 1 + 2 \cos (2 x)) \sin (2 x) + 2 (1 - \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 15.5

运用分配律。

$- \frac{(2 \cdot 1 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 (1 - \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 15.6

运用分配律。

$- \frac{(2 \cdot 1 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + (2 \cdot 1 + 2 (- \cos (2 x))) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 15.7

运用分配律。

$- \frac{(2 \cdot 1 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 \cdot 1 \sin (2 x) + 2 (- \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 15.8

合并项。

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解题步骤 15.8.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{(2 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 \cdot 1 \sin (2 x) + 2 (- \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 15.8.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{(2 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 2 (- \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 15.8.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{(2 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 15.8.4

将 $2 \sin (2 x)$ 和 $2 \sin (2 x)$ 相加。

$- \frac{(2 \cos (2 x) \sin (2 x) + 4 \sin (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 15.8.5

从 $2 \cos (2 x) \sin (2 x)$ 中减去 $2 \cos (2 x) \sin (2 x)$ 。

$- \frac{(0 + 4 \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 15.8.6

将 $0$ 和 $4 \sin (2 x)$ 相加。

$- \frac{4 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 15.8.7

从 $4 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}))}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 15.8.8

约去公因数。

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解题步骤 15.8.8.1

从 $2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}))}{2 ({(1 + \cos (2 x))}^{2})} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 15.8.8.2

约去公因数。

解题步骤 15.8.8.3

重写表达式。

$- \frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 15.8.9

将 $\frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$ 。

$- \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} (2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}))}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

解题步骤 15.8.10

将 $2$ 移到 ${(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$- \frac{2 \cdot {(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

解题步骤 15.8.11

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 ${(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{2} {(1 + \cos (2 x))}^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 15.8.12

通过指数相加将 ${(1 + \cos (2 x))}^{2}$ 乘以 ${(1 + \cos (2 x))}^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 15.8.12.1

移动 ${(1 + \cos (2 x))}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} ({(1 + \cos (2 x))}^{- \frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{2})}$

解题步骤 15.8.12.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{- \frac{1}{2} + 2}}$

解题步骤 15.8.12.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

解题步骤 15.8.12.4

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

解题步骤 15.8.12.5

在公分母上合并分子。

$- \frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

解题步骤 15.8.12.6

化简分子。

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解题步骤 15.8.12.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

解题步骤 15.8.12.6.2

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$- \frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{\frac{3}{2}}}$

微积分学 示例

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