微积分学示例

$f (x) = \cos (x^{4}) (\frac{x}{x + 6})$

解题步骤 1

组合 $\cos (x^{4})$ 和 $\frac{x}{x + 6}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x^{4}) x}{x + 6}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \cos (x^{4}) x$ 且 $g (x) = x + 6$ 。

$\frac{(x + 6) \frac{d}{d x} [\cos (x^{4}) x] - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos (x^{4})$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [\cos (x^{4})]) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [\cos (x^{4})]) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 $\cos (x^{4})$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x \frac{d}{d x} [\cos (x^{4})]) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = x^{4}$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{4}$ 。

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{4}])) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 5.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{4}])) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3

使用 $x^{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x (- \sin (x^{4}) \frac{d}{d x} [x^{4}])) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 6

使用幂法则求微分。

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解题步骤 6.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x (- \sin (x^{4}) (4 x^{3}))) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 6.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x (- 4 \sin (x^{4}) x^{3})) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{3} x^{1} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{3 + 1} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 9

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{4} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 10

根据加法法则， $x + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{4} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{4} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x (1 + \frac{d}{d x} [6])}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 12

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{4} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x (1 + 0)}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 13

化简表达式。

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解题步骤 13.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{4} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 13.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{4} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

化简分子。

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解题步骤 14.1.1

化简每一项。

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解题步骤 14.1.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) - 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 14.1.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 6) (\cos (x^{4}) - 4 x^{4} \sin (x^{4}))$ 。

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解题步骤 14.1.1.2.1

运用分配律。

$\frac{x (\cos (x^{4}) - 4 x^{4} \sin (x^{4})) + 6 (\cos (x^{4}) - 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 14.1.1.2.2

运用分配律。

$\frac{x \cos (x^{4}) + x (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) + 6 (\cos (x^{4}) - 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 14.1.1.2.3

运用分配律。

$\frac{x \cos (x^{4}) + x (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) + 6 \cos (x^{4}) + 6 (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 14.1.1.3

化简每一项。

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解题步骤 14.1.1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x \cos (x^{4}) - 4 x (x^{4} \sin (x^{4})) + 6 \cos (x^{4}) + 6 (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 14.1.1.3.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 14.1.1.3.2.1

移动 $x^{4}$ 。

$\frac{x \cos (x^{4}) - 4 (x^{4} x) \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) + 6 (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 14.1.1.3.2.2

将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 14.1.1.3.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x \cos (x^{4}) - 4 (x^{4} x^{1}) \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) + 6 (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 14.1.1.3.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x \cos (x^{4}) - 4 x^{4 + 1} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) + 6 (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 14.1.1.3.2.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x \cos (x^{4}) - 4 x^{5} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) + 6 (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 14.1.1.3.3

将 $- 4$ 乘以 $6$ 。

$\frac{x \cos (x^{4}) - 4 x^{5} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4}) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 14.1.2

合并 $x \cos (x^{4}) - 4 x^{5} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4}) - \cos (x^{4}) x$ 中相反的项。

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解题步骤 14.1.2.1

按照 $x \cos (x^{4})$ 和 $- \cos (x^{4}) x$ 重新排列因数。

$\frac{x \cos (x^{4}) - 4 x^{5} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4}) - x \cos (x^{4})}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 14.1.2.2

从 $x \cos (x^{4})$ 中减去 $x \cos (x^{4})$ 。

$\frac{- 4 x^{5} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4}) + 0}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 14.1.2.3

将 $- 4 x^{5} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4})$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 4 x^{5} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4})}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 14.2

重新排序项。

$\frac{- 4 x^{5} \sin (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4})}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 14.3

从 $- 4 x^{5} \sin (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4})$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 14.3.1

从 $- 4 x^{5} \sin (x^{4})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 2 x^{5} \sin (x^{4})) - 24 x^{4} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4})}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 14.3.2

从 $- 24 x^{4} \sin (x^{4})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 2 x^{5} \sin (x^{4})) + 2 (- 12 x^{4} \sin (x^{4})) + 6 \cos (x^{4})}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 14.3.3

从 $6 \cos (x^{4})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 2 x^{5} \sin (x^{4})) + 2 (- 12 x^{4} \sin (x^{4})) + 2 (3 \cos (x^{4}))}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 14.3.4

从 $2 (- 2 x^{5} \sin (x^{4})) + 2 (- 12 x^{4} \sin (x^{4}))$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 2 x^{5} \sin (x^{4}) - 12 x^{4} \sin (x^{4})) + 2 (3 \cos (x^{4}))}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 14.3.5

从 $2 (- 2 x^{5} \sin (x^{4}) - 12 x^{4} \sin (x^{4})) + 2 (3 \cos (x^{4}))$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 2 x^{5} \sin (x^{4}) - 12 x^{4} \sin (x^{4}) + 3 \cos (x^{4}))}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 14.4

从 $- 2 x^{5} \sin (x^{4})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (2 x^{5} \sin (x^{4})) - 12 x^{4} \sin (x^{4}) + 3 \cos (x^{4}))}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 14.5

从 $- 12 x^{4} \sin (x^{4})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (2 x^{5} \sin (x^{4})) - (12 x^{4} \sin (x^{4})) + 3 \cos (x^{4}))}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 14.6

从 $- (2 x^{5} \sin (x^{4})) - (12 x^{4} \sin (x^{4}))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4})) + 3 \cos (x^{4}))}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 14.7

从 $3 \cos (x^{4})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4})) - (- 3 \cos (x^{4})))}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 14.8

从 $- (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4})) - (- 3 \cos (x^{4}))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4}) - 3 \cos (x^{4})))}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 14.9

将 $- (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4}) - 3 \cos (x^{4}))$ 重写为 $- 1 (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4}) - 3 \cos (x^{4}))$ 。

$\frac{2 (- 1 (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4}) - 3 \cos (x^{4})))}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 14.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4}) - 3 \cos (x^{4}))}{{(x + 6)}^{2}}$

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