微积分学示例

$f (x) = \cos (\tan (\sqrt{x}))$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\cos (\tan (x^{\frac{1}{2}}))]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \tan (x^{\frac{1}{2}})$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\tan (x^{\frac{1}{2}})$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (x^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 2.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [\tan (x^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 2.3

使用 $\tan (x^{\frac{1}{2}})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} [\tan (x^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 3.2

$\tan (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{2})$ 。

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 3.3

使用 $x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) (\sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 7

在公分母上合并分子。

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 8.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 9

将负号移到分数的前面。

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 10

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 11

组合 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))$ 。

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}} \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2} \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 12

组合 $\sec^{2} (x^{\frac{1}{2}})$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2}$ 。

$- \frac{\sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (x^{- \frac{1}{2}} \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})))}{2}$

解题步骤 13

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{\sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

化简分子。

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解题步骤 14.1.1

将 $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{{(\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})})}^{2} \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.1.2

对 $\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})}$ 运用乘积法则。

$- \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}})} \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.1.3

一的任意次幂都为一。

$- \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}})} \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2

组合 $\frac{1}{\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}})}$ 和 $\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))$ 。

$- \frac{\frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}})}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.3

将分子乘以分母的倒数。

$- (\frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}})} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 14.4

合并。

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \cdot 1}{\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (2 x^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 14.5

将 $\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (2 x^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 14.6

将 $2$ 移到 $\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}})$ 的左侧。

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2 \cdot \cos^{2} (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.7

从 $\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $\cos (x^{\frac{1}{2}})$ 。

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2 (\cos (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})) x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.8

分离分数。

$- (\frac{1}{2 (\cos (x^{\frac{1}{2}})) x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{\cos (x^{\frac{1}{2}})})$

解题步骤 14.9

将 $\frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{\cos (x^{\frac{1}{2}})}$ 重写为乘积形式。

$- (\frac{1}{2 (\cos (x^{\frac{1}{2}})) x^{\frac{1}{2}}} (\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})}))$

解题步骤 14.10

将 $\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$- (\frac{1}{2 (\cos (x^{\frac{1}{2}})) x^{\frac{1}{2}}} (\frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})}))$

解题步骤 14.11

化简。

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解题步骤 14.11.1

用 $\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))$ 除以 $1$ 。

$- (\frac{1}{2 (\cos (x^{\frac{1}{2}})) x^{\frac{1}{2}}} (\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})}))$

解题步骤 14.11.2

将 $\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})}$ 转换成 $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ 。

$- (\frac{1}{2 (\cos (x^{\frac{1}{2}})) x^{\frac{1}{2}}} (\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}})))$

解题步骤 14.12

分离分数。

$- (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})} (\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}})))$

解题步骤 14.13

将 $\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})}$ 转换成 $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ 。

$- (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \sec (x^{\frac{1}{2}}) (\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}})))$

解题步骤 14.14

组合 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ 。

$- (\frac{\sec (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} (\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}})))$

解题步骤 14.15

乘以 $\frac{\sec (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} (\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}}))$ 。

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解题步骤 14.15.1

组合 $\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))$ 和 $\frac{\sec (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- (\frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} \sec (x^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 14.15.2

组合 $\frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ 。

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}}) \sec (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.15.3

对 $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) (\sec^{1} (x^{\frac{1}{2}}) \sec (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.15.4

对 $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) (\sec^{1} (x^{\frac{1}{2}}) \sec^{1} (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.15.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) {\sec (x^{\frac{1}{2}})}^{1 + 1}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.15.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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