微积分学示例

$f (x) = \frac{\cos (x) (\sin^{4} (x))}{4 \cos (x)}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1

约去公因数。

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x) \sin^{4} (x)}{4 \cos (x)}]$

解题步骤 1.1.2

重写表达式。

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin^{4} (x)}{4}]$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{\sin^{4} (x)}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)]$ 。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{1}{4} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 2.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{4} (4 \sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{4}{4} (\sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3.2

组合 $\sin^{3} (x)$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{\sin^{3} (x) \cdot 4}{4} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 3.3

将 $4$ 移到 $\sin^{3} (x)$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot \sin^{3} (x)}{4} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 3.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

约去公因数。

$\frac{4 \sin^{3} (x)}{4} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 3.4.2

用 $\sin^{3} (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\sin^{3} (x) \cos (x)$

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