微积分学示例

$f (x) = \cos (x) + \log (x) + \frac{1}{x^{2}} + x^{\frac{3}{4}}$

解题步骤 1

根据加法法则， $\cos (x) + \log (x) + \frac{1}{x^{2}} + x^{\frac{3}{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\log (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\log (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

解题步骤 2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\log (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

解题步骤 3

$\log (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x \ln (10)}$ 。

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} + \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

解题步骤 4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

解题步骤 4.2.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

解题步骤 4.4

将 ${(x^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

解题步骤 4.4.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

解题步骤 4.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

解题步骤 4.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 (x^{1} x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

解题步骤 4.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

解题步骤 4.8

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

解题步骤 5

计算 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{4}$ 。

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}$

解题步骤 5.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

解题步骤 5.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

解题步骤 5.4

在公分母上合并分子。

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}}$

解题步骤 5.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}}$

解题步骤 5.5.2

从 $3$ 中减去 $4$ 。

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}}$

解题步骤 5.6

将负号移到分数的前面。

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}}$

解题步骤 6

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}}$

解题步骤 6.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

解题步骤 6.3

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} + \frac{- 2}{x^{3}} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

解题步骤 6.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

解题步骤 6.3.3

将 $\frac{3}{4}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ 。

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

解题步骤 6.4

重新排序项。

$\frac{1}{x \ln (10)} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}} - \sin (x)$

微积分学 示例

微积分学示例